Demuestra eso; $\displaystyle\int_0^\infty\frac{f(bx)-f(ax)}{x}dx=(l-f(0))\ln\frac{b}{a}$

Question

Supongamos que $f\in C^1([0,\infty))$ , $f'$ es monótona en $[0,\infty)$ y $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=l$ es finito. Si $a,b>0$ demostrar que..; $$\displaystyle\int_0^\infty\frac{f(bx)-f(ax)}{x}dx=(l-f(0))\ln\frac{b}{a}$$

El truco está claro para mí, tengo que escribir es como doble integral, es decir, la función $\frac{f(bx)-f(ax)}{x}$ como una integral, obviamente con límites $a$ y $b$ . Por ejemplo

$\displaystyle\int_a^bf'(xy)dy$$ \N - El escuadrón $(Here is $ f $ differentiated with respect to $ y$)

funciona.

Ahora bien, si asumo eso, $\displaystyle\int_0^\infty\Big(\displaystyle\int_a^bf'(xy)dy\Big)dx=\displaystyle\int_a^b\Big(\displaystyle\int_0^\infty f'(xy)dx\Big)dy$

y $\displaystyle\int_0^\infty f'(xy)dx=\frac{l-f(0)}{y}$ $(\bigstar)$

entonces $\displaystyle\int_a^b\frac{l-f(0)}{y}=(l-f(0))\ln\frac{b}{a}$ da el resultado correcto.

MIS PREGUNTAS

1)¿Por qué la línea con $(\bigstar)$ ¿correcto? Porque $f'(xy)$ se diferencia con respecto a $y$ pero si integramos w.r.a $x$ por qué tenemos $f$ ¿Otra vez?

2)¿Por qué podemos cambiar el orden de integración, Tenemos que hacer uso de la monotonicidad de $f'$ Supongo que sí. $\lim\limits_{x\to\infty}f'(x)=0$ pero esto no es suficiente.

Answer 1

Ad 1): $f'(xy)$ es la derivada de $f$ evaluado en el punto $xy$ . Desde $f$ es una función de una sola variable, "diferenciada con alguna variable" no es una distinción que deba hacerse, se puede diferenciar $f$ sólo con respecto a su único argumento real. Se puede diferenciar la composición $F(x,y) = f(xy)$ con respecto a $x$ o $y$ y los resultados son $\frac{\partial F}{\partial x}(x,y) = f'(xy)\cdot y,\; \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) =f'(xy)\cdot x$ . De lo cual se desprende que

$$f'(xy)= \frac{1}{y}\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)= \frac{1}{x}\frac{\partial F}{\partial y}(x,y),$$

que le da los resultados respectivos al integrar con respecto a $x$ o $y$ .

Ad 2): La monotonicidad de $f'$ junto con $\lim\limits_{x\to\infty} f'(x) = 0$ (que se deduce de $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = l$ ) implican que $f'$ tiene signo constante, o bien es siempre no negativo, o bien siempre no positivo. El teorema de Tonelli asegura entonces que se permite el intercambio de orden de integración.