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¿$f_n = |x|^{1 + 1/n} $ convergen uniformemente en $[-1,1]$?

¿Convergen uniformemente la $f_n = |x|^{1 + 1/n} $ $|x| $ $[-1,1] $?

He intentado calcular (para el $x \in[0,1]) $ $\sup|f_n(x) - f(x)| = \sup(x-x^{1 + 1/n} ) $miss i % calcula el $x_n $ que el sup se produce en el, esta es la respuesta: el sup ocurre en $x_n = \left(\dfrac{n}{1+n}\right)^n $ y esto implica que el $sup_{x \in [0,1]}|f_n(x) -f(x) | \to 0 $ cuando $ n \to \infty $

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Dr. MV Puntos 34555

Tenga en cuenta que $x\in[0,1]$, $\lim_{n\to \infty}x^{1+1/n}=x$. Ahora, deje que $\epsilon>0$ dar. Entonces, vemos que

$$\begin{align} \sup_{x\in [0,1]}\left|x^{1+1/n}-x\right|&=\left(1+\frac1n\right)^{-n}-\left(1+\frac1n\right)^{-n-1}\\\\ &=\frac1n\left(1+\frac1n\right)^{-n-1}\\\\ &\le \frac{1}{en}\\\\ &<\epsilon \end {Alinee el} $$

cuando $n>\frac{1}{e\epsilon}$.

Por lo tanto, $x^{1+1/n}$ converge uniformemente a $x$ $x\in [0,1]$.

El análisis de $x\in [-1,0]$ proceder del mismo modo.

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