¿Por qué los estados generales de QFT son localmente similares al vacío?

Question

Recientemente, al leer sobre la paradoja de la información de los agujeros negros, muchos autores han dicho que cualquier estado en una teoría cuántica de campos "se parece" al vacío a distancias suficientemente cortas. Un ejemplo revisión reciente de Marolf es

Primero recordemos que a distancias suficientemente cortas cualquier estado de nuestro campo cuántico estará bien aproximado por el vacío. Entonces debemos recordar también que el vacío de la teoría cuántica de campos contiene correlaciones ultravioletas divergentes entre puntos espaciales separados.

No he logrado encontrar una explicación detallada de por qué esto debería ser así, ya sea haciendo una búsqueda rápida en google o mirando mis libros de texto de QFT, así que agradecería si se pudiera dar una explicación detallada (con todas las matemáticas) o al menos una heurística (con tal vez un enlace a algún libro/artículo).

Answer 1

No estoy seguro de estar de acuerdo con la afirmación. Pero supongamos que la afirmación es correcta e intentemos comprender lo que significa, al menos desde un punto de vista heurístico.

El primer paso es caracterizar adecuadamente el vacío. ¿Qué entendemos por $|0\rangle$ ¿el estado de vacío de la teoría? En el espacio-tiempo plano, un estado se llama el vacío si y sólo si satisface $$ P^\mu|0\rangle=M^{\mu\nu}|0\rangle=0 $$ donde $P^\mu$ son los generadores de las traslaciones, y $M^{\mu\nu}$ son los generadores de las transformaciones de Lorentz. Los estados $|0\rangle$ que satisfacen las condiciones anteriores son típicamente muy degeneradas, y eso no es realmente un problema (contrariamente a lo que se pueda pensar). Pero esto es irrelevante aquí, así que sigamos adelante.

Dado un estado arbitrario (normalizado) $|\psi\rangle$ podemos construir dos tensores que nos dan la energía característica y el momento angular del estado, $$ p^\mu=\langle \psi|P^\mu|\psi\rangle\qquad\text{and}\qquad m^{\mu\nu}=\langle \psi|M^{\mu\nu}|\psi\rangle $$ la primera con unidades de energía y la segunda adimensional.

Si sondeamos el estado $|\psi\rangle$ con una partícula muy energética, digamos, con energía $E\gg p^\mu$ entonces sí que podemos despreciar la energía de $|\psi\rangle$ con una precisión $\mathcal O(p/E)$ . En este sentido, cuando observamos $|\psi\rangle$ desde una distancia muy corta, parece que tiene $p^\mu\sim 0$ . De hecho, se puede considerar que cualquier estado de energía finita tiene energía cero si lo sondeamos con una energía suficientemente alta.

Esto significa que la condición $$ P^\mu|\psi\rangle\approx0 $$ se cumple aproximadamente para cualquier estado de energía finita, siempre que lo miremos desde una distancia muy corta.

Por otro lado, no importa lo grande que sea la energía de nuestra sonda, el tensor $m^{\mu\nu}$ nunca se parecerá a $m^{\mu\nu}\sim 0$ . Por un lado, los valores propios de $M^{ij}$ son semienteros, que no están continuamente conectados a cero. Por lo tanto, $$ M^{\mu\nu}|\psi\rangle\not\approx0 $$ en general.

Pero, y hay un gran pero, la condición $M^{\mu\nu}|0\rangle=0$ no tiene por qué cumplirse en relatividad general: ¡en el espacio-tiempo curvo, el vacío puede tener un momento angular distinto de cero! Este hecho se discute en las notas de Strominger ici . Intentaré encontrar una referencia más específica, pero por ahora ésta es la mejor que he encontrado.

El remate es que cualquier Estado $|\psi\rangle$ cumple aproximadamente las condiciones para ser un estado de vacío, al menos si lo miramos desde una distancia muy corta. Esto es más o menos lo que queríamos entender. Me encantaría ver una discusión más técnica de la afirmación de entonces OP, pero espero que este argumento heurístico sea más o menos convincente.

Answer 2

Primero recordemos que a distancias suficientemente cortas cualquier estado de nuestro campo cuántico estará bien aproximado por el vacío. Entonces debemos recordar también que el vacío de la teoría cuántica de campos contiene correlaciones ultravioletas divergentes entre puntos espaciales separados.

Dado que Evaluación de Marolf se refiere a los campos cuánticos en el espacio-tiempo fuertemente curvado de los agujeros negros, creo que esta afirmación puede referirse al hecho de que los estados de campo físicamente razonables $\omega$ son estados Hadamard que satisfacen la condición Hadamard. Es decir, la estructura de singularidad de su función de correlación de 2 puntos $\omega(\phi(x) \phi(y))$ tiene la forma general $$ \omega(\phi(x) \phi(y)) = \frac{u}{\sigma} + v\log\sigma + w \tag{*} $$ donde $\sigma(x, y)$ es la distancia geodésica cuadrada entre los puntos $x$ y $y$ y $u$ , $v$ , $w$ son funciones suaves.

La razón es que si el espacio de Fock se construye a partir de un estado de vacío Hadamard $\omega_0$ con una función de 2 puntos $\omega_0(\phi(x) \phi(y))$ que satisfaga (*), entonces cualquier estado físico permitido $\omega$ heredará la misma estructura de singularidad para sus correlaciones de 2 puntos y el mismo tipo de comportamiento de corto alcance (ultravioleta) que el estado de vacío. En otras palabras, a distancias cortas los estados físicamente permitidos "se parecen al vacío" y comparten sus correlaciones ultravioletas divergentes.

De hecho, la condición de Hadamard se impone precisamente para garantizar este comportamiento, porque es lo que se requiere para construir un tensor de tensión-energía (finito) significativo. En concreto, una tensión-energía finita requiere un $\omega(\phi^2(x))$ que se renormaliza "restando el vacío". $$ \omega(\phi^2(x)) \sim \lim_{x\rightarrow y} \Big(\omega(\phi(x) \phi(y)) - \omega_0(\phi(x) \phi(y)) \Big) < \infty $$ Si los estados de Fock tuvieran un comportamiento diferente a escalas pequeñas en comparación con el vacío, comprometerían el espectro de energía.

Fuente: A. Wipf, Campos cuánticos cerca de agujeros negros

Note : Según un argumento de Srednicki Para un campo en estado de vacío, la entropía del entrelazamiento de los grados de libertad en una región acotada del espacio con los grados de libertad fuera de esa región es proporcional tanto al corte ultravioleta de la teoría como al área del límite de dicha región (no, no hay agujero negro de por medio). Un argumento similar puede interpretarse para dos regiones espaciales delimitadas separadas y su entropía de entrelazamiento mutuo. Pero Marolf se refiere a regiones separadas espacialmente. puntos lo que en este contexto significaría la desaparición de los límites, etc. Así que creo que es mucho más probable que su referencia a correlaciones ultravioletas divergentes se refiera más bien a la función de 2 puntos, obviamente divergente.