Intervalo abierto $(0,1)$ con la topología habitual admite un espacio métrico

Question

¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

1. $(0,1)$ con la topología habitual admite una métrica que es completa .

2. $(0,1)$ con la topología habitual admite una métrica que no es completa.

3. $[0,1]$ con la topología habitual admite una métrica que no es completa.

4. $[0,1]$ con la topología habitual admite una métrica que es completa.

Esta pregunta ha llegado en mi examen de oposición. Creo que es una pregunta incorrecta, porque la completitud es una propiedad del espacio métrico y no una propiedad del espacio topológico. Así que por favor, compruebe mi representación. Gracias

Dejemos que $X = (0,1)$ y $d$ es una métrica euclidiana sobre $X$ que induce la topología habitual en $X$ y una secuencia $\{\frac{1}{n} \}$ es una secuencia de Cauchy en la métrica euclidiana , pero no converge en $X$ . Así que $X$ no es completa conbla topología habitual admite una métrica euclidiana.

Por otro lado

El mapa $$ f:(0,1)\to\mathbb{R}:x\mapsto\tan\pi\left(x-\frac{1}{2}\right) $$ es una biyección que permite definir la métrica $$ d(x,y)=|f(x)-f(y)| $$ que hace que $((0,1),d)$ completa. Desde $f$ mapea intervalos a intervalos entonces ambas topologías son equivalentes.

Así que la completitud no es una propiedad topológica. Así que esto es irrelevante.

Estaría agradecido, si alguien revisa mi representación

Answer 1

Creo que es legítimo preguntarse si un espacio topológico admite una métrica.

Si te doy un espacio topológico y te pregunto si existe una métrica (con ciertas propiedades) que induzca esta topología no hay nada malo en ello, ¿verdad? (Si he entendido bien la palabra admitir...)

Es cierto que la exhaustividad puede no tener sentido en cualquier espacio, pero si te doy un espacio puedo preguntarte si tiene sentido. Hay una clase más amplia de espacios en los que tiene sentido. Si te interesa puedes leer sobre espacios uniformes .

Ahora bien, ¿por qué son correctas la 1 y la 4? El espacio en 4 es un subespacio cerrado de un espacio completo ( $\Bbb R$ ) que está completo. Y para el 1 se necesita que $(0,1)$ es homeomorfo a $\Bbb R$ que está completo.

Claramente para demostrar que 2 es correcto se puede demostrar que $(0,1)$ con la topología habitual no es completa, basta con elegir una secuencia de Cauchy que converja a $0$ .

Lo más interesante es la 3. Tienes que saber que $[0,1]$ con cualquier métrica que induzca la topología estándar es completa. Aquí se puede utilizar el hecho de que cualquier espacio métrico compacto es completo, ya que la compacidad es claramente una propiedad topológica.

Así que o bien me he equivocado en la pregunta o la 2 también es correcta. En el segundo caso puedes echar un vistazo a Espacio completamente metrizable que son espacios topológicos cuya topología es/puede ser inducida por una métrica completa.