¿Tienen sentido las dimensiones negativas?

Question

Hace algún tiempo leí en un libro popular de física que en la teoría M, hay algunas "cosas" que se pueden decir que tienen dimensión $-1$.

Probablemente, el autor estaba exagerando mucho, pero esto me dejó pensando:

¿Existen teorías matemáticas que contengan una noción que pueda ser considerada como una especie de generalización de la noción clásica de dimensionalidad y que permita valores negativos?

Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff puede asumir, hasta donde sé, solo valores reales no negativos. Creo que los grupos de homotopía estables se pueden definir para dimensiones enteras arbitrarias, pero esto no cuenta realmente, ya que no se está tratando con objetos de dimensiones negativas per se.

Answer 1

Una forma de definir la dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita se extiende naturalmente a la definición del característica de Euler de un complejo de cadenas acotado de espacios vectoriales de dimensión finita, y estos pueden ser negativos. De alguna manera relacionado, existe una noción de super espacio vectorial, que también tiene una noción de dimensión que puede ser negativa. Estos explican, en cierto sentido, la fórmula

$$\left( {n \choose d} \right) = (-1)^d {-n \choose d}$$

si se piensa en ${-n \choose d}$ como la dimensión de la potencia exterior $\Lambda^d(V)$ donde $\dim V = -n$. Ver esta entrada de blog para más detalles.

Pensar en términos de dimensiones negativas también sugiere algunas dualidades interesantes entre grupos de Lie; por ejemplo, creo que un producto interno en un espacio vectorial de dimensión negativa es una forma simpléctica, por lo que en cierto sentido, los grupos ortogonales de espacios vectoriales de dimensión negativa son los grupos simplécticos, o algo así. Ver, por ejemplo, este artículo.

Answer 2

No se trata de una noción general de dimensionalidad, pero la teoría de homotopía y la teoría de categorías superiores (temas muy relacionados) han encontrado útil considerar, por ejemplo, la $-1$-esfera: $$S^{-1}=\{x\in\mathbb{R}^0:\|x\|=1\}=\varnothing.$$ Los artículos de nLab sobre pensamiento negativo, la tabla periódica y la esfera son relevantes (enlazo a la caché de Google porque no puedo hacer que las páginas funcionen directamente por alguna razón).

Answer 3

Las representaciones lineales son espacios vectoriales equipados con ciertas simetrías. Más específicamente, se tiene una representación como un espacio $V$ y un grupo $G$ con un homomorfismo $G\to{\rm GL}(V)$, o de manera equivalente, un $K[G]$-módulo donde $K$ es el campo escalar subyacente. Existe un mapa de traza ${\rm tr}:{\rm End}(V)\to K$ que envía cualquier transformación lineal $A:V\to V$ a su traza ${\rm tr}(A)\in K$. Si componemos $G\to{\rm GL}(V)$ con este mapa de traza, obtenemos un carácter $\chi_V:G\to K$ (cuando $G$ es abeliano, es un morfismo $G\to K^\times$).

En particular, la dimensión puede recuperarse a través de la relación $\chi(1)=\dim_KV$. Así, en general, los caracteres de grupo funcionan como una especie de valor de dimensión "torcido", ya que $\chi_V(g)$ para varios $V$ y $g$ puede tomar valores negativos e incluso no reales (cuando $K\subseteq\bf C$). La teoría de caracteres está íntimamente relacionada con el análisis armónico abstracto / teoría de Fourier y raíces de la unidad, por lo que el adjetivo "torcido" tiene sentido en este contexto. En otros lugares también, cuando los valores similares a caracteres (vistos ellos mismos como "información" o "datos" sobre otras cosas) se colocan como nuevos coeficientes en series ya comprendidas, las series se llaman entonces "torcidas".

Otra forma representacional de crear dimensiones no naturales es a través de la creación de objetos "virtuales" (de la misma manera que pasar del semianillo de naturales positivos con adición y multiplicación al anillo completo de enteros implica crear negativos como números "virtuales" diseñados para cancelar contra los números "tangibles"). Hay dos operaciones importantes en las representaciones, la suma directa $V\oplus W$ y el producto tensorial $V\otimes W. Sucede que los productos tensoriales se distribuyen a través de sumas directas de la misma manera que la multiplicación se distribuye a través de la adición.

Así, nuestras representaciones forman un semianillo bajo las operaciones $\oplus$ y $\otimes$. Se adjuntan inversos aditivos formales de las representaciones y así tenemos un anillo completo (llamado el anillo de representación, así como con otros nombres). Estos dan lugar a caracteres "virtuales", que pueden tomar valores negativos incluso cuando se aplican a $1\in G`, es decir, la dimensión misma puede interpretarse como negativa.