Una gran cantidad de información viene de tener contraejemplos en su cabeza. Por ejemplo, tome la 1ª a, la cual es esencialmente el mismo que el 4: nunca puedo recordar de qué manera Fatou del lema va hasta que no lo haga algunos ejemplos sencillos como:
(Contador)ejemplo:
Deje $f_n(x) = 1/n$ todos los $x$. Claramente $\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)dx = \infty$ todos los $n$, por lo que su límite también es $\infty$. Pero $f_n(x)$ converge punto de sabio a $0$, por lo que la integral del límite de es $0$. Así que ahora, recuerde que Fatou del lema no negativos funciones de $f_n(x)$ es:
\begin{eqnarray*}
\liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n \geq \int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n
\end{eqnarray*}
El Lebesgue teorema de convergencia dominada es lo habitual aplicar si usted desea conseguir la igualdad de resultados. Que en realidad es demostrado directamente de Fatou: Supongamos $f_n(x)$ son no-negativos, convergen pointwise a $f(x)$, y hay un L1-integrable $y(x)$ tal que $f_n(x) \leq y(x)$ todos los $x$$n$. A continuación, $y(x)-f_n(x)$ es no negativo, por lo que por Fatou:
\begin{eqnarray*}
\liminf_{n\rightarrow\infty} \int (y-f_n) \geq \int (y-f)
\end{eqnarray*}
Desde $\int y$ es finito podemos restar de ambos lados para obtener:
\begin{eqnarray*}
\liminf_{n\rightarrow\infty} \int -f_n \geq \int -f
\end{eqnarray*}
Multiplicando el anterior por $-1$ le da:
\begin{eqnarray*}
\limsup_{n\rightarrow\infty} \int f_n \leq \int f
\end{eqnarray*}
Por otro lado, por regular Fatou sabemos que para los no-negativo de la función de $f_n(x)$:
\begin{eqnarray*}
\liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n \geq \int f
\end{eqnarray*}
Las dos anteriores las desigualdades juntos implica que el $\limsup$ $\liminf$ son los mismos, así:
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty} \int f_n = \int f
\end{eqnarray*}
A continuación, el general de Lebesgue resultado para funciones de $f_n(x)$ que son posiblemente negativas utiliza un delimitador de la función $y(x)$ que satisface $|f_n(x)|\leq y(x)$ todos los $x$, y que está probado por la ruptura de $f_n(x)$ en positivo y negativo de las partes.
La última está también directamente relacionado con esta cuestión de la empujando los límites través de las integrales. Suponga $f(x,t)$ es L1-integrable ( $t$ )$x$. Así podemos hablar de la $\int f(x+h,t)dt - \int f(x,t)dt$ sin tener que preocuparse acerca de los molestos casos de $\infty - \infty$. Luego, a partir de la definición de derivada queremos ver en:
\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\int \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}dt
\end{eqnarray*}
Por lo que podemos definir $g_h(t) = \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}$. Si asumimos $\lim_{h\rightarrow0}g_h(t) = \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)$, entonces podemos usar la Lebesgue teorema de Convergencia Dominada para mostrar $\lim_{h\rightarrow 0} \int g_h(t)dt = \int \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt$.
Esto se justifica si podemos encontrar una L1-integrable delimitación de la función de $y(t)$ que satisface $|g_h(t)| \leq y(t)$ todos los $t$$h$. Tal delimitación de las funciones a menudo se puede encontrar mediante la explotación de ciertas propiedades de $f(x,t)$, como Lipschitz propiedades y/o finita el apoyo de más del $t$.
La segunda propiedad es muy interesante, y me había de engañar un poco! He encontrado un enlace a un buen contraejemplo aquí:
¿En qué condiciones puede el intercambio de la orden de límites de una función de dos variables?
El más sencillo (no el más) condición suficiente es que $f(x,y)$ ser continua en todos los puntos en un abrir barrio de $(a,b)$ (incluyendo $(a,b)$ sí). Usted puede probar que conduce a la buena "geométrica" de la intuición.
Más general de la condición suficiente para $\lim_{x\rightarrow a} [\lim_{y\rightarrow b} f(x,y)]$ $\lim_{y\rightarrow b} [\lim_{x\rightarrow a} f(x,y)]$ a existir y ser igual es si todas las siguientes tres condiciones:
(i) $f(x,y)$ es continua en a $(a,b)$.
(ii) Hay un $c>0$ tal que $\lim_{x\rightarrow a} f(x,y)$ existe un número real siempre $0<|y-b|<c$.
(iii) Hay un $d>0$ tal que $\lim_{y\rightarrow b} f(x,y)$ existe un número real siempre $0<|x-a|<d$.
Pedro Franek comentario tal vez conduce a la mayoría de los "geométrica" de la intuición (por el 3er problema). Usted puede considerar las funciones que tienen su valor real uniformemente empujado hacia abajo a 0, pero todavía oscilar violentamente.
