Una representación de un grupo finito que no es completamente reducible

Question

Teorema de Maschke dice que cada finito-dimensional representación de un grupo finito es completamente reducible. ¿Hay un ejemplo simple de una representación dimensional infinito de un grupo finito que no es completamente reducible?

EDIT: Como se menciona en las respuestas, no es realmente ninguna advertencia finito-dimensional Teorema de Maschke. Parece que acabo de mala suerte, en la que el primer par de referencias que encontré incluida una asunción finito-dimensional.

Answer 1

Yo no era capaz de encontrar ninguna referencia para el teorema de Maschke hablando sólo acerca de lo finito representaciones tridimensionales.

El "moderno" declaración de Maschke del teorema (o, al menos, el anillo único como teóricos) es este:

Para cualquier anillo conmutativo $R$ y finito grupo $G$, el anillo de grupo $R[G]$ es semisimple iff $R$ es semisimple y el orden de $G$ es una unidad en $R$.

Semisimplicity, vinculado anteriormente, es la condición en la que todo derecho $R$ módulos divididos en sumas de módulos sencillos. Este es el correspondiente hecho el resultado de la teoría de la representación acerca de todas las representaciones ser completamente reducible.

Ahora si $R$ es un campo de característica cero, el orden de $G$ va a ser una unidad, no importa en qué orden se tiene, y además, los campos se semisimple. Así, en particular, tiene un corolario:

Para cualquier campo $F$ de característica 0 y finito grupo $G$, el anillo de grupo $F[G]$ es semisimple, y por lo tanto, todos sus módulos (=representaciones de $G$) son completamente reducible.

Cuando la orden de $G$ divide la característica de un campo $F$, $F[G]$ no tiene representaciones que no son completamente reducible. El ejemplo lo más fácil en ese caso tendría que ser $F[G]$ sí, que necesariamente tiene un valor distinto de cero Jacobson radical.

Como un juguete ejemplo, usted podría tomar el grupo cíclico de orden dos $C_2=\{1,c\}$ y el campo de $F_2$ de orden dos, y de considerar su grupo de álgebra $F_2(C_2)$. Usted obtener un anillo de cuatro elementos $\{0,1,c,1+c\}$. Se puede ver que $(c+1)^2=0$, por lo que el $\{0,c+1\}$ es el nilradical (que es el Jacobson radical en este caso).

Answer 2

Para un anillo de $R$, no necesariamente conmutativo, pero con una identidad multiplicativa, un no-cero $R$-módulo es una suma directa de módulos sencillos si y sólo si se trata de una suma de módulos sencillos, si y sólo si cada submódulo tiene un complemento. Una representación de un grupo finito $G$ $\mathbf{C}$ es la misma cosa que un $\mathbf{C}[G]$-módulo. Cada $\mathbf{C}[G]$-módulo de $M$, ya sea finito dimensionales o no, tiene la propiedad de que cada submódulo tiene un complemento (la prueba de Maschke del teorema de no uso que el módulo es finito dimensionales, sólo que $G$ es finito). Así que por el citado resultado, todos los $\mathbf{C}[G]$-módulo es una suma directa de simple submódulos, que es, cada representación compleja de $G$ es completamente reducible.

Answer 3

Tomar $Z_2\times Z_2$, con generadores de A y B. considere el campo k, donde K es el campo de dos elementos. Dejó $\phi (A) = \left [{\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ \end{matriz}} \right]$ and $\phi (B) = \left [{\begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \ \end{matriz}} \right]$, where $t$ is a variable. Then you got a representation of the Klein-group in $GL(2,K(t))$ y no es completamente reducible.