Continuidad de la función dada como un máximo de

Question

Es continua en $f(x,y)$ % que $[a,b]\times[c,d]$, y definimos la función $g(y)$ sigue $$g(y):=\max_{x\in[a,b]}f(x,y),\quad\forall y\in[c,d].\tag{1}$ $

¿La pregunta es cuando podemos concluir que el $g\in C[c,d]$, o proporcione un contraejemplo para mostrar $g$ no es una función continua otra vez? ¡Cualquier respuesta será apreciada!

Answer 1

En primer lugar observamos que $f$ es uniformemente continuo, porque es una función continua definida en un conjunto compacto. Esto implica que para $\alpha\in [c,d]$ y $\epsilon>0$, podemos encontrar algunos $\delta>0$ tal que % $ $$\tag{1}f(x,\alpha)-\epsilon\leq f(x,y)\leq f(x,\alpha)+\epsilon,\ \forall\ x\in [a,b]$

Concluimos de $(1)$de $$\tag{2}g(y)\geq\max_{x} \{f(x,\alpha)-\epsilon\}$$ #%

En la otra mano $$\tag{3}f(x,y)\leq f(x,\alpha)+\epsilon\leq g(\alpha)+\epsilon $ $

Por lo tanto, desde $(3)$, tenemos que %#% $ #%

Mediante la combinación de $$\tag{4}g(y)\leq g(\alpha)+\epsilon$ y $(2)$ obtenemos el resultado.