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Mezclas un límite de la integral

Estoy trabajando en el siguiente problema

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n}2^n\int_0^\infty x^n(1+x^2)^{-n} \ dx$ $ yo puedo reescribir el integral como $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^\infty \sqrt{n}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^n dx$ $ luego quiero usar la integral gaussiana para evaluar esto. He probado un substution de $u=\sqrt{n}x$ pero no funciona bien. ¿Cualquier otra sugerencia?

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Claude Leibovici Puntos 54392

Con la esperanza de que no he cometido ningún error :$n>1$, $$\int_0^\infty x^n(1+x^2)^{-n} \ dx=\frac{\sqrt{\pi } 2^{n} \Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$ So, $$A= \sqrt{n}2^n\int_0^\infty x^n(1+x^2)^{-n} \ dx=\sqrt{\pi n}\frac{ \Gamma \left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$ For large values of $n$, asymptotic expansion of the $\Gamma$ function gives $$A=\sqrt{2 \pi }+\frac{3 \sqrt{\frac{\pi }{2}}}{2 n}+\frac{25 \sqrt{\frac{\pi }{2}}}{16 n^2}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{5/2}\right)$$

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