Supongamos $G$ es finito y abelian. Mostrar que cada subgrupo de $G$ es característico si y sólo si $G$ es cíclico.
Tengo el 'si' de la parte hasta ahora:
Si $G$ es cíclica y, a continuación,$G = \langle g \rangle $$|g| = n$, dicen. Deje $\alpha \in \operatorname{Aut}(G)$, $\alpha : G \rightarrow G$ $g \mapsto g^i$ donde $(i,n) = 1$. Deje $K \leq G$, $K$ es cíclico con $K = \langle g^k \rangle$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$. $$\alpha (K) = \alpha ( \langle g^k\rangle ) = \langle \alpha(g)^k \rangle = \langle (g^i)^k \rangle = \langle (g^k)^i \rangle =: H.$$ Obviously $H\leq K$. Pick an arbritrary element in $K$, $(g^k)^j$ say $(g^j) = (g^i)^{j'}$ for some $j'$ as $g^i$ generates $G$. So $$(g^k)^j = (g^j)^k = ((g^i)^{j'})^k = ((g^k)^i)^{j'} \in H.$$ hence $K\leq H$ and hence $H=K$, así que cada subgrupo es característico.
Pero la 'sólo si' parte me da problemas. esto es lo que he encontrado:
$G$ es finito abelian, por lo tanto $$G = C_{a_1}\times C_{a_2} \times \cdots \times C_{a_m}$$ where each $C_{a_i}$ is cyclic and $a_{i} \mid a_{i+1}$ (correct me if I'm wrong but I think this is called Smith normal form?). Suppose $m\geq 2$. From here I'm trying to find an automorphism of $M:=C_{a_1} \times C_{a_2}$ which does not fix every subgroup of $M$, pero por desgracia he tenido suerte.
