Cosas alrededor de $(\forall x)(\Psi \Rightarrow \Phi) \Leftrightarrow ((\exists z)\Psi) \Rightarrow \Phi)$

Question

Deje $M,N$ se establece, $Q_M$ un conjunto que depende de $M$ $P(\cdot,\cdot)$ una propiedad con dos parámetros (que está bien, para llamar a estos "parámetros" o "variables" hubiera sido mejor ?). Considere las siguientes tres afirmaciones:

i) $(\forall x\in M)(\forall y\in Q_M)[P(x,y)\Rightarrow x \in N]$

ii) $(\forall x\in M)[((\exists y\in Q_M)[P(x,y)])\Rightarrow x \in N]$

iii) $N=\{ x\in M \mid (\exists y\in Q_M)[P(x,y)]\}$

Me gustaría mucho saber lo siguiente:

1. Me han dicho que i) y ii) son equivalentes, ya que son una instancia de un esquema general $$ (\forall x)(\Psi \Rightarrow \Phi) \Leftrightarrow ((\existe z)\Psi) \Rightarrow \Phi), $$ que tiene si $z$ no mencionado en $\Phi$, como Carl Mummert creo explicó hace mucho tiempo - no puedo encontrar la entrada a la derecha ahora.
   ¿Cuáles son los "valores" de la $x,z,\Psi$ $\Phi$ tener, de tal manera que este esquema se muestra la equivalencia de i) y ii) ?

2. ¿Qué tipo de configuración de hacer que usted necesita en el que usted puede probar este esquema general ? Sólo es de la lī ogica ? O usted necesita ZFC para formalizar esta lógica, por lo que se puede usar set-teoría para demostrarlo ?

3. Cómo se lo puede comprobar (o una versión corregida de la misma, si lo anterior es errónea; a mí me parece que cuantificadores faltan) ?

4. Es ii) equivalente a iii) ? ¿Cómo rigurosamente demostrar que ? Que los axiomas ZFC son necesarios para que la prueba ?

Answer 1

Sugerencias:

1] Suponiendo que $x$ no es libre en $\varphi$, he aquí una cadena de equivalencias:

(a) $\forall x(\psi(x) \to \varphi)$

(b) $\forall x(\neg\psi(x) \lor \varphi)$

(c) $\forall x\neg\psi(x) \lor \varphi$

(d) $\neg\forall x\neg\psi(x) \to \varphi$

(e) $\exists x\psi(x) \to \varphi$

El único paso que puede dar una pausa en la equivalencia de (b) y (c): puede ayudar a comparar los $(\neg\psi(a) \lor \varphi) \land (\neg\psi(b) \lor \varphi)$$(\neg\psi(a) \land \neg\psi(b)) \lor \varphi$. Tenga en cuenta que la equivalencia de (a) y (e) es sólo una cuestión de lógica de primer orden, y nada que ver con ZFC.

2] Estos también son equivalentes:

(a') $(\forall x \in A)(\psi(x) \to \varphi)$

(b') $(\exists x \in A)\psi(x) \to \varphi$

sólo por el mismo tipo de razonamiento, y de nuevo sólo mediante la apelación a la lógica de primer orden. Sólo necesitas descomprimir el abreviaturas para restringido cuantificadores.

3] Para ver su (i) implica (ii), crear (i): el uso de un parámetro de nombre de un objeto cualquiera en $M$ - aplicar un (a'/b')-tipo de equivalencia, y generalizar para obtener (ii). A continuación, puede hacer a la inversa de equivalencia.