¿Orden finito divide máxima orden finito?

Question

Deje $G$ ser un grupo abelian, y deje $x \in G$ ser un elemento de máxima finito de orden. Si $y \in G$ ha finito de orden en $G$, no se sigue necesariamente que $|y|$ divide $|x|$?

EDIT: hay una manera de ver esto sin invocar el Teorema Fundamental de Finito Abelian Grupos o de Lagrange del Teorema de...?

EDIT2: Progreso hasta el momento. Queremos algún tipo de contradicción? Si $|y|$ es finito y $|y|\,\not\vert\,|x|$, entonces existe prime $p$ donde $|x| = p^ra$, $|y| = p^sb$, con $\text{gcd}(a, p) = 1$, $\text{gcd}(b, p) = 1$, y $r < s$. Pero no estoy seguro de qué hacer a continuación.

Answer 1

Que $x_1=x^{p^r}$, $y_1=y^b$. Entonces $o(x_1) = a$, $o(y_1)=p^s$, que son coprime, así $o(x_1y_1)=ap^s > ap^r$, contradicción.

Answer 2

Suponiendo que $G$ es finitamente generado, puede apelar a la fundamental teorema y la escriba $G$ $$\mathbb{Z}^d\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$$ where $d_1\mid d_2, d_2\mid d_3, \ldots, d_ {k-1} \mid d_k$.

Ahora tiene de $x$ $d_k$ de la orden y si $y$ cualquier otro elemento de orden finito, entonces escribir $$ y = (y_1 y_2, \ldots, y_k) $$ donde $y_i \in \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ y apelar al hecho de que $$ | y | = \gcd (| y_1 |, | y_2 |, \ldots, | y_k |) $$