$\mathcal{f}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ restringido a las secciones es continuo implica continuidad

Question

Que $\mathcal{f}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\mathcal{f}$ restringido a cada {$x=a$} es continuo y restringida a cada sección {$y=b$} es continua y monótona. Demostrar que $\mathcal{f}$ es continua.

Mis pensamientos: he intentado demostrar $\mathcal{f}$ es diferenciable, pero fue una estrategia algo mala.

actualización: corregida la restricción x = una para cada restricción x = un

Answer 1

Consejo: Elige cualquier punto $(x_0, y_0)$ en el plano y un % constante $\epsilon > 0$. Entonces existe $\delta_1 > 0$ tal que $|f(x,y_0) - f(x_0,y_0)| \le \epsilon / 2$el % siempre $|x-x_0| \le \delta_1$. Ahora existen $\delta_2 > 0$ tal que $|f(x_0 \pm \delta_1, y) - f(x_0 \pm \delta_1, y_0)| \le \epsilon/2$el % siempre $|y-y_0| \le \delta_2$. Esto da $|f(x_0 \pm \delta_1,y) - f(x_0,y_0)| \le \epsilon$ $|y-y_0| \le \delta_2$, es decir, obtener la estimación de la continuidad deseada en los lados izquierdo y derecho del rectángulo de ancho $2\delta_1$y altura %#% en $2\delta_2$ #%. La misma estimación para el interior ahora sigue de la monotonía en la variable de % de $(x_0,y_0)$.

Answer 2

Deje $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$. Cambiando $f$ $g(x,y)=g(x+x_0,y+y_0)-f(x_0,y_0)$ si es necesario, podemos asumir que $(x_0,y_0)=(0,0)$ $f(0,0)=0$ (esto es sólo para no tener que escribir tanto).

Deje $\delta_1>0$ tal que $|f(x,0)|\leq\epsilon$ siempre $|x|\leq\delta_1$. Ahora elija $\delta_2>0$ tal que $|f(\delta_1,y)-f(\delta_1,0)|<\epsilon$ $|f(-\delta_1,y)-f(-\delta_1,0)|<\epsilon$ siempre $|y|<\delta_2$.

Considerar el rectángulo $[-\delta_1,\delta_1]\times[-\delta_2,\delta_2]$, que contiene $(0,0)$ en su interior. Supongamos $|x|<\delta_1$$|y|<\delta_2$. Entonces $$|f(\delta_1,y)|\leq|f(\delta_1,y)-f(\delta_1,0)|+|f(\delta_1,0)|\leq 2\epsilon,$$ y de manera similar a $|f(-\delta_1,y)|\leq 2\epsilon$. Desde $f$ es monótona a lo largo de la línea de $(\cdot,y)$, e $(x,y)$ entre $(-\delta_1,y)$$(\delta_1,y)$,$|f(x,y)-f(\delta_1,y)|\leq|f(-\delta_1,y)-f(\delta_1,y)|$, por lo que

\begin{align*} |f(x,y)|&\leq|f(x,y)-f(\delta_1,y)|+|f(\delta_1,y)|\\ &\leq |f(-\delta_1,y)-f(\delta_1,y)|+2\epsilon\\ &\leq 6\epsilon \end{align*}

Comentario: Estamos haciendo aproximaciones aquí, que funciona bien y es bastante visual. Pero, en realidad, con el hecho de que $f$ es monotono en la línea $(\cdot,y)$ rendimientos $|f(x,y)|\leq\max(|f(-\delta_1,y)|,|f(\delta_1,y)|)\leq 2\epsilon$.

Answer 3

$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$Sugerencia: Si $(x, y)$ $(x_{0}, y_{0})$ son puntos arbitrarios, entonces $$ f(x, y) - f(x_{0}, y_{0}) = \bigl(f(x, y) - f(x, y_{0})\bigr) + \bigl(f(x, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})\bigr). $$ En el primer término de la derecha, sólo $y$ varía; en el segundo, sólo $x$ varía.

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Edit: Más de sugerencia, ya que el epsilontics son un poco delicados.

Suponer sin pérdida de generalidad que $f$ es no decreciente en $y$.

Fix$(x_{0}, y_{0})$$\eps > 0$. Uso la continuidad de $f$ $y$ a recoger $\delta_{2} > 0$ tal que $$ |y - y_{0}| < \delta_{2} \text{ implica } |f(x_{0}, y) - f(x_{0}, y_{0})| < \tfrac{1}{3}\eps. $$ Ahora uso la continuidad en $x$ (y el "estándar mínimo de dos condiciones" modismo) para recoger $\delta_{1} > 0$ tal que $$ |x - x_{0}| < \delta_{1} \text{ implica } |f(x, y_{0} \pm \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0} \pm \delta_{2})| < \tfrac{1}{3}\eps. $$ Si $|x - x_{0}| < \delta_{1}$$0 \leq y - y_{0} < \delta_{2}$, luego $$ f(x, y) - f(x_{0}, y_{0}) = \bigl(f(x, y) - f(x_{0}, y)\bigr) + \bigl(f(x_{0}, y) - f(x_{0}, y_{0})\bigr). \etiqueta{1} $$ Ahora para la parte delicada: Desde $f$ es monótona en $y$, \begin{align*} \bigl(f(x, y) - f(x_{0}, y)\bigr) &\leq \bigl(f(x, y_{0} + \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0})\bigr) \\ &= \bigl(f(x, y_{0} + \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0} + \delta_{2})\bigr) + \bigl(f(x_{0}, y_{0} + \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0})\bigr) \tag{2a} \end{align*} (incremento $y$ en el primer término y la disminución en la segunda, a continuación, utilizar mi primera sugerencia), y $$ \bigl(f(x_{0}, y) - f(x_{0}, y_{0})\bigr) \leq \bigl(f(x_{0}, y+ \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0})\bigr). \etiqueta{2b} $$ Totalmente similar estimaciones de manejar el caso $-\delta < y - y_{0} < 0$.

Poner todo junto, si $|x - x_{0}| < \delta_{1}$$|y - y_{0}| < \delta_{2}$, luego \begin{align*} |f(x, y) - f(x_{0}, y_{0})| &\leq \big|f(x, y) - f(x_{0}, y)\big| + \big|f(x_{0}, y) - f(x_{0}, y_{0})\big| \\ &\leq \big|f(x, y_{0} + \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0} + \delta_{2})\big| + \big|f(x_{0}, y_{0} + \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0})\big| \\ &\qquad + \big|f(x_{0}, y+ \delta_{2}) - f(x_{0}, y_{0})\big| \\ &< \eps. \end{align*}