¿Por qué estudiar la teoría de conjuntos?
Nos gusta pensar que las matemáticas desarrollado a partir de la necesidad de nuestros ancestros para contar cosas. Tengo cuatro ovejas, que tiene dieciséis camellos, a mi tribu tiene diez docenas de hombres, usted tiene seiscientos esposas, etc... etc. Pero si se mira de cerca, contando cómo muchas de las cosas que usted tiene de un determinado tipo, requiere en primer lugar usted tiene que ser capaz y reunirlas en una sola colección. En la "colección de todas las ovejas que tengo", o la "colección de los hombres de mi tribu", y así sucesivamente.
Sets de vino a resolver un problema similar. Los conjuntos son colecciones de objetos matemáticos, que en sí mismos son objetos matemáticos.
Esto, por supuesto, no significa que debemos aprender la teoría de conjuntos sólo para ese solo propósito. Las aplicaciones de la teoría de conjuntos no son inmediatos para finito de las colecciones, o más bien lo suficientemente pequeñas colecciones. No necesitamos pensar acerca de parejas o en grupos con cinco elementos como objetos en particular. Lo que queremos hacer con ellos se puede hacer casi con la mano.
Conjuntos de entrar en juego cuando se quiere hablar de conjuntos infinitos. Conjuntos infinitos recoger infinidad de objetos en una colección. El conjunto de los números naturales, el conjunto finito de conjuntos de conjuntos de conjuntos de números naturales, el conjunto de conjuntos de conjuntos de conjuntos de conjuntos de conjuntos de números irracionales, etc. Después de establecer que los objetos matemáticos pueden ser recogidos en otros objetos matemáticos se puede iniciar el análisis de su estructura.
Pero aquí viene el problema. Conjuntos infinitos desafían nuestra intuición, que proviene de los conjuntos finitos. Las muchas paradojas del infinito, que incluyen la paradoja de Galileo, Hilbert del Grand Hotel, y así sucesivamente, están todas las paradojas que vienen a representar la naturaleza de la infinidad contradice nuestra intuición física.
El estudio de la teoría de conjuntos, incluso ingenuamente, es la técnica de la columna vertebral de cómo manejar conjuntos infinitos. Desde la matemática moderna es que se trate con muchos conjuntos infinitos, grandes y pequeños, es una buena idea para aprender acerca de los conjuntos infinitos si uno desea entender los objetos matemáticos mejor.
Y uno puede estudiar, ingenuamente, una gran cantidad de la teoría de conjuntos, especialmente bajo la tutela de un buen maestro que te enseñan en realidad conjunto axiomático de la teoría ingenua de un disfraz. Y este tipo de aprendizaje puede y tal vez debe incluir discusiones sobre el axioma de elección, acerca de los números ordinales, y acerca de los cardenales. Como Ittay dijo, y me estoy acordando los números ordinales y cardinales son dos maneras de contar, que se extienden más allá de nuestra intuitiva de entender que el conteo se realiza a través de los números naturales, y nos permiten contar infinito de objetos.
Si una pareja que estas ideas con los conceptos básicos de la lógica de primer orden, cálculo de predicado, y lo básico de la lógica de primer orden, se entiende cómo la teoría de conjuntos puede ser utilizado como una base para la matemática moderna. Cual, de nuevo, nos permite ver mejor en algunas partes de las matemáticas.
La teoría de conjuntos axiomática, por otro lado, es un matemático de campo como cualquier otro. Tiene cierto tipo de problemas típicos, y el conjunto de los teóricos de la obra en sus típicos o atípicos maneras de resolverlos, o al menos comprenderlos mejor. Axiomático que la teoría de conjuntos, sin embargo, manejar el grano fino de los problemas que vienen desde el infinito mejor.
¿Por qué quiero decir con esto? Muchos de los conjuntos infinitos en las matemáticas modernas, son contables o tienen un tamaño continuo. Rara vez nos encontramos con grandes conjuntos (por ejemplo, el conjunto de todos los Lebesgue medibles conjuntos es más grande), pero aún así, rara vez nos importa. Pero ahora que entendemos conjuntos infinitos mejor, podemos hacer preguntas como "Dado un grupo abelian con tales y tales propiedades, es necesariamente libre [abelian]?" por lo general, se puede demostrar que este tipo de teoremas para el conteo de objetos, en este caso contables de los grupos, pero no más allá de eso.
A veces estamos interesados en la topología, que nos permite ampliar nuestro control contable de los objetos a las cosas que se puede aproximar "en el buen camino" con contables de los objetos (como espacios separables). Pero incluso entonces podemos hacer preguntas, lo que implicaba objetos arbitrarios, y no necesariamente el que tiene "buenas propiedades".
Resulta que nuestra falta de intuición para los conjuntos infinitos se refleja en la falta de "ingenuamente comprobable de" estructura de los conjuntos infinitos. No podemos ni siquiera seguramente determinar cuántos cardinalidades se encuentran entre la cardinalidad de a$\Bbb N$$\Bbb R$. Podría ser que ninguno, o puede ser uno, dos o muchos más. Aquí la teoría de conjuntos axiomática entra en juego.
La teoría de conjuntos axiomática ofertas con los axiomas que nos puede requerir el conjunto teórico el universo, y cómo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y esta es la importancia de la teoría de conjuntos para la investigación matemática. Se trata de resolver la existencia o qué tipo de suposiciones que tenemos que demostrar o refutar la existencia de ciertos objetos.
Estos objetos, mientras que aparentemente arbitrario, puede tener una gran influencia y los efectos fuertes sobre la estructura de "matemáticamente interesante conjuntos". Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel es Lebesgue medible. Pero la imagen continua de un conjunto de Borel no necesita ser Borel. Es Lebesgue medible? Resulta que sí, pero si cerramos los conjuntos de Borel en virtud de complementos y funciones continuas, será la resultante de los conjuntos de Lebesgue medible? Van a satisfacer algún tipo de "continuum hipótesis"? Se que tiene la propiedad de Baire? Y otras preguntas, que son todos muy natural, se originó todo tipo de extraño conjunto de objetos teóricos y los axiomas que afirman su existencia.
Y si me preguntan a mí, es por eso que debemos aprender la teoría de conjuntos, y cuál es su importancia. Esto nos permite entender mejor infinita de los objetos, y las hipótesis necesarias para un mejor control de su comportamiento.
