Anillos del cociente de números enteros Gaussian

Question

Utilicé este isomorfismo hoy pero ahora estoy teniendo problemas justificándolo. La función de la norma no es aditivo, por lo que no puedo subir con un isomorfismo del anillo para demostrar lo siguiente:

Para cualquier $\,a+bi\in\Bbb Z[i],\,\gcd(a,b)=1$, tenemos un anillo isomorfismo %#% $ #%

¿Podría alguien mostrarme un isomorfismo entre estos anillos para demostrar esto?

Answer 1

$\rm\: (a,b)=1\stackrel{Bezout}\Rightarrow ak\!+\!bj=1.\:$ % Que $\rm\ w = a\!+\!b\,{\it i}\,.\,\ \langle w\rangle \ni (a\!+\!b\,{\it i}\,)(j\!+\!k\,{\it i}\,)\, =\, aj\!-\!bk+{\it i}\, =:\, \color{#f0f}{ e+{\it i}}$

es de $\rm\quad \Bbb Z\stackrel{h}{\to}\, \Bbb Z[{\it i}\,]/\langle w\rangle\ $ $\rm\,\color{#0b0}{\bf onto,\ }$ $\rm\ mod\,\ w:\,\ \color{#f0f}{{\it i}\,\equiv -e}\phantom{\dfrac{|}{|}}\!\!\Rightarrow\:c\!+\!d\,{\it i}\:\equiv\, c\!-\!d\,e\,\in\, \Bbb Z.\ \ $ % Let $\rm\ n = ww'$
$\rm\quad\!\begin{eqnarray}\rm m\in ker\ h &\iff&\rm w\mid m\iff \phantom{\dfrac{|}{|_|}}\!\!\!\!\!\!\! \dfrac{m}{w}\: =\: \dfrac{m\,w'}{ww'}=\,\dfrac{ma\!-\!mb\,{\it i}}n\:\in\: \Bbb Z[{\it i}\,]\\ &\iff&\rm n\mid ma,mb\!\iff\! \color{#c00}n\mid(ma,mb)=m(a,b)=m\end{eqnarray} $

$\rm\quad So \ \ \ \Bbb Z[{\it i}\,]/\langle w\rangle\, \color{#0b0}{\bf =\ Im\:h}\:\cong\: \Bbb Z/ker\:h \,=\, \Bbb Z/\color{#c00}n\,\Bbb Z\ $ $\ \ $ QED

Answer 2

Sugerencia: Defina un mapa $\phi : \mathbb{Z}[i] \to {\mathbb Z}_{a^2 + b^2}$ $\phi (x + yi) = x-(ab)^{-1}y$. A continuación, mostrar que $\phi$ es sobreyectiva homomorfismo y encontrar su núcleo. Su sugerencia $\ker(\phi) = \langle a+bi\rangle$.