Tensor de la matanza y la identidad del tensor de Riemann

Question

Sé que si tenemos una Matanza vector , entonces es sencillo para mostrar la identidad:

$$\nabla_a \nabla_b K_c = R_{cba}^k K_d$$

Ahora estoy tratando de demostrar la siguiente identidad de una $(0,2)$ Matar tensor:

$$\nabla_{(a}\nabla_b K_{c)d} = - R_{d(ab}^{e}K_{c)e} $$

Sé que debo usar el hecho de que Matar a un tensor $K_{ab}$ es simétrica y satisface $\nabla_{(a}K_{bc)}=0$.

He intentado escribir $$(\nabla_a \nabla_b - \nabla_b\nabla_a)K_{cd} = R_{abc}^eK_{ce} + R_{and}^eK_{de}$$, y diversas permutaciones sobre a, b y c, pero no he sido capaz de hacer mucho progreso con esto y agradecería alguna información sobre esto!

También me preguntaba si tales identidades generalizar? ¿Siempre tiene que haber una relación de a $(0,n)$ Asesinato del tensor que relaciona la segunda derivados a una expresión algebraica de la relación con el tensor de Riemann?

Answer 1

En primer lugar tenemos la ecuación: \begin{equation}\require{Amsmath} 2\nabla_{[a} \nabla_{b]} K_{cd} = R_{abc}{}^e K_{ed} + R_{abd}{}^e K_{ce} = 2 R_{ab(c} K_{d)e}\tag{1}.\label{eq:KT} \end{equation} Tenemos: $$R_{d(ba}{}^e K_{c)e} = \frac{1}{3}(R_{db(a}{}^e K_{c)e} + R_{da(b}{}^e K_{c)e} + R_{dc(b}{}^e K_{a)e}) = \frac{1}{3} (\nabla_{[d} \nabla_{b]} K_{ac} + \nabla_{[d} \nabla_{a]} K_{bc} + \nabla_{[a} \nabla_{c]} K_{ba}),$$ donde hemos utilizado la ecuación \eqref{eq:KT}. Ahora expresamos algunos términos con el fin de que el índice de $d$ es eliminado de la covariante derivados del uso de $\nabla_{(a} K_{bc)} = 0$, con lo que la expresión anterior se convierte en: $$\frac{1}{3!} (\nabla_d \nabla_b K_{ac} + \nabla_b \nabla_a K_{dc} + \nabla_b \nabla_c K_{ad} + \nabla_d \nabla_a K_{bc} + \nabla_a \nabla_b K_{dc} + \nabla_a \nabla_c K_{db} + \nabla_d \nabla_c K_{ba} + \nabla_c \nabla_b K_{da} + \nabla_c \nabla_a K_{bd}) = \nabla_d \nabla_{(a} K_{bc)} + \nabla_{(a} \nabla_b K_{c)d},$$ que acredite la identidad.

Respecto a la pregunta sobre la generalización, una indicación de que es posible es que si $K^a$ es Matar a un vector, se puede formar un Asesinato tensor por escrito $K^a K^b$ etc, y la inducción muestra que una ecuación con doble covariante derivados y Riemann tensores existe.