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Producto infinito de funciones sinc

Calcular el % de producto infinito $f_q(x):=\prod_{n=0}^\infty\frac{\sin(q^n x)}{q^n x}$, donde $x$ es real y $0<q<1$.

En otras palabras, $f_q$ debe satisfacer la ecuación funcional $f_q(x)=f_q(qx)\operatorname{sinc}(x)$ con una condición inicial $f_q(0)=1$, donde $\operatorname{sinc}(x):=\frac{\sin(x)}{x}$.

Uso de factorización de Euler de sinc uno puede reescribir $f_q(x)$ como un determinado producto infinito de $q$-Pochhammer símbolos. Por lo tanto espero que $f_q$ puede expresarse en términos de algunas funciones de la hipergeométrica. La transformada de Fourier de $f_q$ es una función lisa con soporte compacto.

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olekravchenko Puntos 31

$\mathrm{h}_a$ atómico de la función

Supongo, que la inversa de la transformada de Fourier de $f_q(x)$ conduce función finita, que se conoce como $\mathrm{h}_a(x)$. Podría ser aproximada por el coseno de Fourier de la serie de la siguiente manera: $$ \begin{cases} \mathrm{h}_a(x,a,M,N)=(a-1)\biggl(\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{N}\prod\limits_{m=1}^{M}\mathrm{sinc}(m(a-1)\pi)\,\cos(k(a-1)\pi x)\biggr) ~~~\text{if}~~~\\ \hspace{11cm} x\,\in\,[-\frac{1}{a-1},\frac{1}{a-1}],\\ 0 \quad elsewhere. \end{casos} $$

Código

Wolfram Mathematica: $$ FTha[t_, a_, N_] := Producto[Sinc[t^-k], {k, 1, N}]; ha[x_, a_, M_, N_] := Si[-1/(a - 1) <= x && x <= 1/(a - 1), (a - 1) (1/2 + Suma[FTha[(a - 1) \[Pi] k, a, N] Cos[(a - 1) \[Pi] k x], {k, 1, M}]), 0]; $$

Parcelas

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Referencia

http://demonstrations.wolfram.com/ApproximateSolutionsOfAFunctionalDifferentialEquation/

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