Invertibilidad de una transformación lineal sin conocer su matriz

Question

Sea $\mathbb{V}$ sea un espacio de producto interno de dimensión finita, y sea $\mathbb{W} \subset \mathbb{V}$ sea un subespacio.

Defina $T:\mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$ por $$T(\overrightarrow v)=\overrightarrow v + Proj_{W}\overrightarrow v$$

Demuestra que $T$ es invertible.

Mi planteamiento consiste en demostrar que $T$ es inyectiva y puesto que $T$ va de $\mathbb{V}$ a $\mathbb{V}$ lo que implicaría que es bjetivo y, por tanto, invertible.

Dejo que un vector arbitrario $\overrightarrow v \in KerT$ .

$T(\overrightarrow v)=\overrightarrow 0$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow v=-Proj_{W}\overrightarrow v$

Esto significaría que $\overrightarrow v$ es una combinación lineal de vectores que pertenecen a una base de $\mathbb{W}$ . $\therefore Proj_{W}\overrightarrow v=\overrightarrow v$

$\therefore \overrightarrow v=-\overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow v=\overrightarrow 0$

Por lo tanto $T$ es biyectiva e invertible.

¿Es correcto mi planteamiento?

Answer 1

Su trabajo es correcto (aunque sólo en un número finito de dimensiones, como es el caso). Sería menos incómodo decir que $\overrightarrow v=-Proj_{W}\overrightarrow v$ implica que $\overrightarrow v \in \mathbb W$ que decir que es "una combinación lineal de vectores que pertenecen a una base de $\mathbb W$ ", pero cualquiera de los dos es correcto.

También se puede observar que una prueba más directa sería observar que la inversa es $$T^{-1}(\overrightarrow v)=\overrightarrow v - \frac{1}2Proj_W\overrightarrow v$$ que puede demostrarse que es la inversa directamente componiéndola a ambos lados de $T$ . Esto funciona en cualquier número de dimensiones, lo cual es una ventaja.

Answer 2

A mí me parece bien. Has demostrado que es inyectiva (lo que es suficiente para la invertibilidad en el rango de $T$ ). Sin embargo, no has demostrado que sea suryectiva; sólo porque $T$ toma valor en $\mathbb V$ no significa que tome todos los valores de $\mathbb V$