Wilson ' s teorema - ¿por qué sólo para números primos?

Question

¿Por qué es cierto que el teorema de Wilson sólo aplica para números primos?

Leí una prueba de ello, y no parece atender a ese aspecto del teorema.

Answer 1

Si $m$ no es un prime, factores en dos números menores que $m-1$, así tenemos $m \mid (m-1)!$ y $(m-1)! \equiv 0 \mod m$ si los factores son diferentes.

Si estos números no son diferentes, entonces es suficiente que $\sqrt{m}$ y $2\sqrt{m}$ como factores. Como tenemos los $2\sqrt{m}<m-1$ $m\geq9$, el otro caso es $m=4$, en cuyo caso tenemos $(m-1)! \equiv 2 \mod m$.