Representaciones unitarias de SL (2, R)

Question

He oído que irreducible unitario de representaciones de noncompact formas de simple Mentira grupos, el primer ejemplo de ese grupo, G ser SL(2, R), puede ser completamente descrito y que no es un discreto y continuo de parte del espectro de L^2(G).

1. Cómo son las representaciones descritas?
2. Hacer todo unitario representaciones provienen L^2(G)?
3. Cómo son los relacionados con la representación de compacto SO(3, R)?
4. Lo que sucede en el plano límite entre SL(2, R) y SO(3, R)?

También, es posible responder a las preguntas de arriba al mismo tiempo para todos Mienten grupos, no sólo a SL(2, R)?

Answer 1

Le recomiendo que lea el artículo "las Representaciones de Lie semisimple grupos" por Knapp y Trapa en el parque de la ciudad/ias actuaciones "teoría de la Representación de la Mentira de los grupos". Es una muy buena introducción al problema de describir la "unitaria dual" (que es lo que usted está preguntando acerca de) que se centra en SL(2,R). Por ejemplo, en la página 9 dice: "la irreductible unitaria de las representaciones que aparecen en L^2(G) no se casi de escape de la central unitaria de doble" para general semisimple Mentira grupos (por lo tanto responder a la pregunta 2). Para obtener más información, usted puede comprobar fuera de knapp del libro "teoría de la Representación de semisimple grupos: un resumen basado en los ejemplos". Por ejemplo, las secciones II.4 y II.5 describir la central unitaria de dobles de SL(2,C) y SL(2,R), respectivamente. La central unitaria de dobles de GL(n,C) y GL(n,R) fueron descritos por Vogan. Algunos otros unitario duales son conocidos, pero en general, creo que no nada más se sabe. Un enfoque es a través de Langlands' parametrización de irreductible admisible que las representaciones de la reductora grupos. Este resultado es conocido por todos los grupos y unitaria de las representaciones son admisibles, por lo que el problema sería identificar qué admisible representaciones son unitarias (knapp-trapa artículo habla acerca de esto). Como para 3), cada irreductible unitaria representación de un grupo compacto es finito-dimensional, así que usted no consigue ninguna de las infinitas dimensiones de las representaciones que usted consigue para SL(2,R). No sé a qué te refieres por 4).

Para una respuesta completa a 1) usted puede comprobar fuera de texto del enlace.

Answer 2

Creo que Rob H.'s respuesta es probablemente el mejor; pero, por (1) y (2), si usted está interesado en la pequeña generales y especiales lineal de los grupos en particular, usted podría hacer peor que consultar Lang $\operatorname{SL}_2(\mathbb R)$, cuyo tema lo voy a dejar a usted a adivinar. Bump del Automorphic formas y representaciones , que cubre también los $\operatorname{GL}_2$ imagen muy bien, aunque, posiblemente, desde un punto de vista diferente de la que usted tiene en mente.

Answer 3

Sólo quiero elaborar más en las preguntas 3. y 4. Voy a considerar el localmente isomorfo a los grupos SU(1,1) de SL2(R) y SU(2) de(3)

Existe una analogía entre la discreta serie de SU(1,1) y la central unitaria de irreps de SO(3). Ambos tienen holomorphic representaciones en el grupo de la órbita en la bandera del colector de S^2 = SL(2,C)/B (B es un Borel subgrupo). En el caso de SU(2), la órbita es la totalidad de SU(2), mientras que para SU(1,1) es un noncomapct supspace: El Poicare disco. En ambos casos, la representación del espacio es una reproducción del núcleo espacio de Hilbert y el grupo de acción es throug una transformación de Möbius. Esta analogía se generaliza a otras organizaciones no-compacto de los grupos que tienen una holomorphic discretos de la serie y puede considerarse como una generalización de la Borel-Weil construcción de grupos compactos.

Respecto de la pregunta 4. Creo que estás hablando de Wigner de la teoría de Lie del grupo de contracción, en el que una Mentira grupo con la misma dimensión y con más "plano" de direcciones está asociada a la original Mentira grupo. Por ejemplo, hay una contracción de SU(2) a Eucledian grupo en dos dimensiones y a SU(1,1) a la Poncare grupo en dos dimensiones. Hay interseting conexiones con el grupo de representaciones de lo contratado versiones, y también de la Casimirs.

Answer 4

En cuanto a clasificación de irreducibles representaciones unitarias de grupos arbitrarios de la mentira, Michel Duflo demostró (supongo que en los años 80 tempranos) que por lo menos para grupos algebraicos de mentira la clasificación puede ser reducida para el caso de grupos de Lie reductivos. Ver de Vogan representaciones unitarias de grupos de Lie reductivos para obtener más información.