Como era curioso, yo escribí un poco de python script para calcular el número de clics necesarios para los botones $1$,$a$,$b$. Aquí es la trama de el resultado, donde $x-$ $y$- eje representan los valores de $a$ $b$ respectivamente.
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Cómo interpretar la imagen?
Como un algoritmo general para calcular el número de clics necesarios para llegar a un número fijo $1\leq x\leq 100$, podemos investigar las combinaciones lineales de $a$ y $b$: $$n\cdot a + m \cdot b,\;\; n,m\in \Bbb N_0.$$
Podemos calcular el menor número de clics mediante la comparación de los resultados de $x-(na+mb)+n+m$, lo que podemos interpretar como "haga clic en $n$ veces $a$ $m$ veces $b$. Para el resto de la diferencia, haga clic en $1$ hasta llegar a $x$ (tenga en cuenta que este término no es necesariamente minimizado por el número de $na+mb$ más cercano a $x$ $n+m$ puede ser demasiado grande).
Así como una heurística, siempre es bueno tener muchos valores diferentes de la forma $na+mb$ y sólo pequeños huecos entre ellos, como la adición de $1$ es caro.
Si $a$ $b$ tienen un divisor común, todos los números de la forma $na+mb$ se tiene que el divisor. Por lo que el número de "alcanzable números" es significativamente mayor, si $a$ $b$ son coprime.
Esto es exactamente lo que podemos ver en la imagen: Los "rayos" de alto promedio de número de clics que representan los pares de $(a,b)$ que compartir grandes divisores.
Como el número de clics no cambia mucho si incrementamos $a$ o $b$$1$, lo cual es satisfactorio como un argumento heurístico, el promedio de número de clics es minimizado por los números, que son "la mayoría de los coprime" en el sentido de que ellos tienen la mayor distancia a los números de compartir grandes divisores.
En el caso de $1\leq x\leq 100$ el mínimo valor promedio de $5.21$ de los clics se alcanza para $a=12$, $b=19$.
