Encontrar $\lim_{n\to\infty}\Phi(n)/n^2$, cuando $\Phi(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(n)$

Question

Este ejercicio está destinado a ser 'explorado' computacionalmente. Sin embargo, he implementado en C++ y no conseguimos nada mejor que una secuencia de números pseudo-aleatorios.

Deje $\Phi(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(n)$. Investigar el valor de $\Phi(n)/n^2$ cada vez más grandes valores de $n$, como $n=100$, $n=1000$, y $n=10000$. Se puede hacer una conjetura sobre el límite de este cociente como $n$ crezca sin límite?

Observe que $\Phi(n)=n\phi(n)$. Por lo tanto, $\Phi(n)/n^2=\phi(n)/n$. Por otra parte, el mayor valor de $\phi(n)/n$ nunca alcanza el es$1$$n=1$; todo lo demás cae dentro del intervalo de $(0,1)$, y el más cercano a $1$ es al $n$ es primo (ya $\phi(p)=p-1$, e $(p-1)/p\approx1$, en grandes números primos $p$).

Sin embargo, me siento tentado a decir que esta función diverge, y que ninguna conjetura acerca de su límite puede ser celebrados como resultado.

¿Ustedes qué piensan?

Answer 1

Hay una muy antigua resultado que dice $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n \varphi(k)}{n^2}=\frac{3}{\pi^2}.$$

El término de error que tengo en las notas es $O(x(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{4/3})$, pero, sin duda, ha habido mejoras en eso. Hay una gran cantidad de literatura.

Añadido: El OP citado correctamente el libro de texto de la fuente del problema, que le pregunta sobre el comportamiento de $(\sum_{i=1}^n\varphi(n))/n^2$. Este es, sin duda, de un error tipográfico, ya que $\sum_{i=1}^n\varphi(n)=n\varphi(n)$.

La relación de $\dfrac{\varphi(n)}{n}$ sin duda rebota mucho, y se puede hacer arbitrariamente cerca de $0$, y, mucho más fácilmente, arbitrariamente cerca de $1$.

Answer 2

Aquí le damos una detallada nota sobre la función Summatory φ. Parte 1 y 2 debe ser de su interés, y en la parte 2 hay una prueba corta.

Ver también este cambio de pila de matemáticas preguntas y respuestas.