Sea $ (G,\cdot ) $ sea un grupo con $ |G|=2m+1,m\in \mathbb{N} $ y $ a\in G $ para que exista $ n\in \mathbb{N} $ con $ a^{n}\cdot x=x\cdot a,\forall x\in G\setminus A $ donde $ A=\left \{ a^{k}|k\in \mathbb{Z} \right \}. $
Demostrar que $ a\cdot x=x\cdot a,\forall x\in G. $
Obviamente, si $ x\in A $ , $ a\cdot x=x\cdot a. $
Si $ x\notin A $ lo único que he encontrado es que $ a^{n}\cdot (x\cdot a^{n-1})^{2m}\cdot x\cdot a^{-1}=e $ .
Tenga en cuenta que $x \in G\setminus A$ sólo si $x^{-1} \in G\setminus A$ . Por lo tanto, la propiedad implica que $x^{-1}ax=a^n=xax^{-1}$ . Así que.., $x^2a=ax^2$ y también $x^{-2}a=ax^{-2}$ . Pero $x$ tiene orden impar, por lo tanto $x^{2k+1}=1$ para algún número entero positivo $k$ . Pero entonces $xa=x^{-2k}a=(x^2)^{-k}a=a(x^2)^{-k}=ax^{-2k}=ax$ .
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Pista : a=x^{-1}a^nx=(x^{-1}ax)^n
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Para $x \not\in \langle a \rangle$ conjugación por $x$ induce un automorfismo de $\langle a \rangle a \rangle$ de orden impar, ya que $|G|$ es impar. Pero $x^2$ induce el mismo automorfismo, por lo que este automorfismo debe ser trivial, y por lo tanto $n=1$ .