Mostrar la serie $\sum (2^{1/n}-1)$ diverge

Question

Cómo demostrar que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{2}-1)$$ ¿diferencia?

Answer 1

Una pista: $$2^{1/n}-1=e^{\frac{1}{n}\log 2}-1\sim \frac{1}{n}\log 2.$$

Answer 2

Observe que $$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\frac{1}{2^in^i}$$ y que para $i\ge 1$ tenemos $\binom{n}{i}\le n^i$ por lo que esto se convierte en $$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\le 1+\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2^{i}}<2$$ y así tenemos $$\sqrt[n]{2}>1+\frac{1}{2n}$$ que nos da $$\sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{2}-1)\ge\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=\infty.$$

Answer 3

$\lim_{x \to 0}\frac{2^x-1}{x} = \log2$ . Esto implica $\lim_{n \to +\infty} \frac{2^\frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n}} = \log2$ . Desde la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ es divergente, así que por la prueba de comparación (forma de límite), la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt[n]{2}-1)$ es divergente.