Objeto de cilindro en la categoría de modelo de complejos de cadena

Question

Que $\text{Ch}⁺(R)$ ser la categoría de complejos de cadena no negativo de $R$-módulos donde $R$ es un anillo comutativo. ¿Qué es un objeto cilindro, en el sentido de las categorías de modelo, para un determinado complejo $M^\bullet$? Pensando en topología algebraica (un círculo y un anillo) yo estaba pensando tensoring $M^\bullet$ $R$ (sobre $R$!), pero esto es bastante trivial y seguro estoy cometiendo un error. ¿Alguien me podria ayudar?

¡Gracias!

Answer 1

Esta es esencialmente la misma respuesta como Zhen Lin, pero voy a ofrecer un punto de vista diferente. Podemos definir un intervalo de objeto ,$\mathcal{I}$ en la categoría de complejos de la cadena de más de $R$. Vamos a definir el grado cero de R - módulo como $R[x,y]$ y el grado en que un R-moldule como $R[I]$, y todos los otros grados será cero. El mapa de los límites será $$ \partial (I)=x-y$$. We now define $cyl(C_*)=C_*\otimes \mathcal{I}$, donde el producto tensor es que de los complejos de la cadena. Tenga en cuenta que, en general, no necesitamos todos de la estructura de un modelo de la categoría para definir la noción de un cilindro functor. Ver http://ncatlab.org/nlab/show/cylinder+functor . Voy a tratar de localizar una fuente forg esta descripción.

Answer 2

Deje $M$ ser una cadena compleja de $R$-módulos, que se concentran en los grados $\ge 0$. Definir una cadena compleja $\textrm{Cyl}(M)$ como sigue: $$\textrm{Cyl}(M)_n = M_n \oplus M_{n-1} \oplus M_n$$ $$\partial(a, b, c) = (\partial a + b, - \partial b, \partial c - b)$$ Son evidentes los mapas de la cadena de $i_0, i_1 : M \to \textrm{Cyl}(M)$$p : \textrm{Cyl}(M) \to M$: \begin{align} i_0 (m) & = (m, 0, 0) \\ i_1 (m) & = (0, 0, m) \\ p (a, b, c) & = a + c \end{align} Claramente, $p \circ i_0 = p \circ i_1 = \textrm{id}_M$. Por otra parte, hay una cadena de homotopy de$\textrm{id}_{\textrm{Cyl}(M)}$$i_0 \circ p$; de hecho, definen $h_n : \textrm{Cyl}(M)_n \to \textrm{Cyl}(M)_{n+1}$ por $$h_n(a, b, c) = (0, -c, 0)$$ y, a continuación,$\textrm{id}_{\textrm{Cyl}(M)} - i_0 \circ p = \partial \circ h + h \circ \partial$. Por lo tanto, $i_0$ es un cuasi-isomorfismo y $p$ es un acíclicos fibration.

Debemos mostrar que $i : M \oplus M \to \textrm{Cyl}(M)$, definido por $i(a, c) = (a, 0, c)$, es un cofibration. Por desgracia, esto ocurre si y sólo si $M$ es degreewise proyectiva: en efecto, $\operatorname{coker} i$ es manifiestamente (isomorfo a) $M[-1]$. En general, encontrar un objeto cilindro para $M$, uno debe buscar en la (cofibration acíclico, fibration) factorización de las veces de mapa de $M \oplus M \to M$.

Answer 3

Usted puede ver el cilindro $Cyl(f)$ definen como en la Zhen la respuesta de como el objeto en su categoría.t. la siguiente secuencia corta $0\rightarrow X \rightarrow Cyl(f) \rightarrow C(f) \rightarrow 0$ es exacto, por cualquier morfismos $f: X\rightarrow Y$ y se denota por a $C(f)$ el cono de $f$.

Alternativamente, usted puede ver los cilindros superiores como el cono de la inducida por morfismos $C(f)[-1]\rightarrow X$. La parte difícil en el trato con los cilindros y los conos es que el 'aspecto inocente" corta secuencia exacta de arriba no está dividida, sino semisplit en el sentido de Gelfand Manin "Métodos de Homológica Álgebra' libro de texto.

En otras palabras, la natural escisiones $r: Cyl(f)\rightarrow X$ $s:C(f)\rightarrow Cyl(f)$ no son morfismos en su categoría de complejos (no conmuta con los diferenciales, debido a las retorcidas diferenciales en el cilindro y el cono).

Este hecho es fuertemente utilizado en la definición de la estructura triangular en homotopy categorías y categorías derivadas.

Para una discusión relacionada con, por favor, compruebe Split-Lema de los complejos de la cadena