Supongamos que $X$ es el primer espacio regular contable, $D$ es el contable cerrado subconjunto discreto de $X$ y $D$ tendría pequeña nbhd cerrado arbitrario, es decir, para cualquier conjunto abierto $U$ $X$ que contiene $D$, $D$ tiene un pequeño conjunto de abiertos $V$, que ¿satisface que $\overline{V}\subset U$?
Respuesta
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He aquí un contraejemplo.
Deje $\mathscr{A}$ ser una máxima de la familia de casi subconjuntos disjuntos de a $\omega$; es decir, si $A,B\in\mathscr{A}$$A\ne B$, $A\cap B$ es finito. Deje $X=\mathscr{A}\cup\omega$. Puntos de $\omega$ son aislados. Abierto básicos nbhds de $A\in\mathscr{A}$ son conjuntos de la forma
$$B_n(A)=\{A\}\cup\{k\in A:k\ge n\}\;.$$ (This is a Mrówka $\Psi$-space.) Clearly $X$ is a first countable, zero-dimensional Tikhonov space, and $\mathscr{A}$ is a closed, discrete set in $X$.
Fijar un countably infinito $D=\{A_n:n\in\omega\}\subseteq\mathscr{A}$, y deje $U=D\cup\omega$. Deje $V$ ser abierto nbhd de $D$ tal que $V\subseteq U$. Hay una función de $n:\omega\to\omega$ tal que $B_{n(k)}(A_k)\subseteq U$ por cada $k\in\omega$ y los conjuntos de $B_{n(k)}(A_k)$ son pares distintos. Deje $S\subseteq\omega$ ser tal que $|S\cap B_{n(k)}(A_k)|=1$ por cada $k\in\omega$; por el maximality de la familia $\mathscr{A}$ hay un $A\in\mathscr{A}$ tal que $A\cap S$ es infinito, y se sigue inmediatamente que $A\in\operatorname{cl}V$. Por lo tanto, $D$ no tiene abierto nbhd cuyo cierre está contenida en $U$.
