Este es un ejercicio de Gallian, Contemporáneo de Álgebra Abstracta. Intuitivamente, no puedo creer que la afirmación es verdadera. Es esencialmente diciendo que no hay abelian grupo con 4, 5 o 6 elementos de orden 2, independientemente de cuán grande es el grupo. He intentado supongamos que un grupo tenía exactamente 4 (o 5, o 6) elementos de orden 2 en la esperanza de llegar a una contradicción. Sé que si un grupo es cíclico, entonces tiene exactamente 1 elemento de orden 2. Sé que un elemento de orden 2 es su propia inversa y no es la identidad. He observado que, de hecho, en $C_2 \times C_2$ hay 3 elementos de orden 2 y en $C_2 \times C_2 \times C_2$ hay 7 elementos de orden 2. Sin embargo, nada de esto es convencer a mí de que la afirmación es verdadera.
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Adam observó que si no fuera por elementos de orden $2$ le podía llamar a $x,y,z,w$ y postula $xy\neq xz\neq xw$ a dar tres elementos extra de fin de $2$.
Un comentario señaló que podríamos tener $xy=z$, por lo que estos no necesitan ser distintos. Si esto es así, entonces también tenemos $xz=y, yz=x$ y la prueba puede ser completado con $xw, yw, zw$. Estos son distintos el uno del otro, y tenga en cuenta que en este caso $xw=y\implies xw=xz$ etc para demostrar que estas son distintas.
Este es Adam prueba, sólo se llena por mí, así que por favor, si usted tiene el rep, voto a recuperar su respuesta, así que él puede modificar la respuesta y obtener el crédito para una buena observación.
Supongamos que tenemos dos elementos de orden dos $\{a,b\}$. A continuación, $ab$ es también de orden dos, ya que $ab\cdot ab = ab\cdot ba = a\cdot b^2 \cdot a = a^2 = e$
Del mismo modo, si tenemos cuatro elementos de orden dos, entonces hay dos opciones: o bien uno de los elementos es el producto de dos de los demás, o no. En el primer caso, elementos $\{a,b, ab, c\}$ podemos ver que $\{ac,bc, abc\}$ también son todos de orden dos, dando a $7$ elementos. En la variable independiente es el caso, no puede ser aún más elementos de orden dos, o puede ser una variación de la $7$ elemento de caso por ejemplo $\{a,b, ac, bc\}$ - tenga en cuenta que$ac\cdot a = c$, por lo que estamos de nuevo en el mismo caso.
Esencialmente cruz-la multiplicación de orden diferente-2 elementos siempre va a producir el fin-2 elementos en grupos, dando a los "números mágicos" para el recuento de dichos elementos.
Los elementos de orden $2$ junto con el elemento de identidad en un grupo abelian forman un subgrupo. Ese subgrupo es un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{F}_2$ con dos elementos (bajo la acción inducida por la usual de acción que hace que cualquier grupo abelian en un $\mathbb{Z}$-módulo). Un espacio vectorial finito $\mathbb{F}_2$ tiene dimensión finita $d$, dicen, y por lo tanto, contiene $2^d$ elementos. Todos menos uno de estos elementos tienen un orden de $2$. Por lo que el número de elementos de orden $2$ en un grupo abelian es infinita o es $2^d-1$ algunos $d \in \mathbb{N}$.
Para finitely grupos generados parece deducirse directamente de la estructura del teorema.
$G$ es isomorfo a un producto cíclico de los grupos de energía primaria y $\mathbb Z$, los elementos de orden $2$ han $0$ en las coordenadas correspondientes a todos los grupos en los productos que no son de la forma $\mathbb Z_{2^n}$.
Por otro lado cada grupo $\mathbb Z_{2^n}$ tiene exactamente un elemento de orden $2$. Por lo tanto, si $G$ $k$ factores de la forma $\mathbb Z_{2^{i}}$ ha $2^k-1$ elementos de orden $2$ (debido a que las coordenadas correspondientes a cada uno de esos factores tiene que ser el elemento de orden $2$ o de la identidad y no es posible para todas las coordenadas que corresponden a la identidad)
