Un ejemplo de una UFD noetheriano no

Question

Un ejemplo de un no UFD noetheriano.

Sé un ejemplo es el $$K[x_1,\ldots,x_n,\dots]$$ with $$ %K un campo, pero no sé por qué. ¿Puede alguien dar otro ejemplo o mejor una explicación?

¿No es noetheriano porque no finito se genera? Y ¿por qué sabes que es un UFD?? Mi pregunta ahora es cómo probar que se trata de una UFD.

Answer 1

El punto esencial es que el polinomio anillo en infinidad de variables es el ascendente de la unión de subrings $K[x_1,\ldots,x_n]$, ya que cualquier polinomio se puede involucrar sólo a los finitely-muchos indeterminates. Cada uno de estos anillos es una UFD, y es fácil ver que un polinomio en que $x_N$ no aparece sólo ha factorizations en que $x_N$ no aparece, otra vez, porque todo lo que tiene lugar en el interior de algunos polinomio anillo en finitely-muchas variables. Pero el anillo no es Noetherian, porque el ideal generado por todos los indeterminates no es, ciertamente, finitely generado.

Edit: en respuesta a @rschwieb comentario/consulta acerca de por qué la $x_N$ no puede aparecer en cualquier factorización de un polinomio $P(x_1,\ldots,x_n)$ no ya su participación... Si lo hizo, entonces no sólo no se $P$ tienen su factorización en la UFD $K[x_1,\ldots,x_n]$, pero también (supuestamente) en la UFD $K[x_1,\ldots,x_n,\ldots,x_N]$, $x_N$ en el segundo, no el primero. Imposible.

Answer 2

Un anillo noetheriano satisfará la condición de cadena ascendente, o equivalente, cada ideal adecuado será finitamente generado. Tu ejemplo no es noetheriano por ambas razones, como podemos ver $$(x_1)\subseteq (x_1,x_2)\subseteq (x_1,x_2,x_3)\subseteq\cdots,$$ and the chain never stabilizes since each indeterminate is distinct from the others. Likewise, $$(x_1,x_2,\ldots)$% $ de x_n$ can't be finitely generated since there is no way to generate $(x_1,\ldots,x_{n-1},x_{n+1},\ldots) de $ from $.

Otro ejemplo de un anillo noetheriano no, es por ejemplo $$\prod_{n=1}^\infty \Bbb Z/2\Bbb Z.$ $ ¿ves por qué basado en tu ejemplo y mi explicación?

Answer 3

Un anillo $R$ tiene una factorización si es noetheriano. Por supuesto la factorización no debe ser única. La unicidad que se debe asumir cada irreducible es cebar.

En tu ejemplo, $K[x_1, ..]$ es una UFD desde $K$ UFD y cada polinomio tiene un número finito de variables. Además no es noetheriano porque $(x_1, x_2...)$ no es finitamente generado, sin embargo $K[x_1, ..]$ es finitamente generado desde $(1) = K[x_1, ...]$