¿Hay infinitamente muchos compuestos $n$ de la siguiente forma $n = 2 p_{k_1} p_{k_2} \cdots p_{k_n} + 1$?
¿En otras palabras son los infinitamente muchos números compuesto construidos usando cualquier opciones de números primos para prueba de Euclids?
P.S.: Modificada la pregunta original para incluir $2$; sin $2$ era trivial verdad. Disculpas a quienes dieron respuestas.
Como Eric Naslund deja en claro, que su prueba se puede ajustar de acuerdo con el $2$, y la más razonable de las variantes que implican un fijo número $n$ de los términos. La siguiente es una muy elemental argumento para un resultado mucho más débil.
Deje $q_1,q_2,\dots, q_{n}$ ser un no-vacía la lista de los impares, números primos tales que la lista contiene un número par (posiblemente $0$) de los números primos de la forma $6k-1$. Entonces $2q_1q_2\cdots q_{n}$ es congruente a $2$ modulo $3$, y, por tanto, $2q_1q_2\cdots q_{n}+1$ es divisible por $3$. Debido a que este número es mayor que $3$, es compuesto.
Como una variante, vamos $p_0=2$, $p_1=3$, $p_2=5$, y así sucesivamente. Deje $a_n=p_0p_2p_3\cdots p_n+1$. (Tenga en cuenta que nos estamos saltando el primer $3$.) A continuación, la secuencia $(a_n)$ contiene una infinidad de compuestos de números.
La prueba utiliza nada más que del Teorema de Euclides.
Se puede demostrar, por una leve variante de Euclides de la prueba, que existen infinitos números primos de la forma $6k-1$. (También hay infinitamente muchos de la forma $6k+1$, pero la prueba es un poco más difícil.)
El hecho de que existen infinitos números primos de la forma $6k-1$, podemos, mediante la adopción de un número par de ellos, y si es necesario la adición de $5$ a la lista, para producir, para cualquier fija $n>1$, infinidad de $n$-tuplas $(q_1,q_2,\dots,q_n)$ de los distintos números primos tales que $2q_1q_2\cdots q_n +1$ es compuesto. El hecho de que existen infinitos números primos de la forma $6k+1$ nos da además el resultado de $n=1$.
Comentario: Los números de $a_n=p_0p_2p_3\cdots p_n+1$ mencionado en la solución son parientes cercanos de $b_n=p_0p_1p_2\cdots p_n+1$. Pero mientras que la prueba de que la secuencia de $(a_n)$ tiene una infinidad de compuestos fue la primaria, en este momento no se sabe si la secuencia de $(b_n)$ tiene una infinidad de compuestos.
Dado cualquier prime $p$, hay infinitamente muchos de estos números divisibles por $p$.
Aquí es por qué: considere el $q_1q_2$ donde ambos son primos. A continuación, queremos encontrar $q_1$, $q_2$ tal que $q_1q_2+1\equiv 0\pmod{p}$. Hay muchas opciones de $ab$ tal que $ab\equiv -1 \pmod{p}$,$a=1,\ b=p-1$. Para cualquier elección, entonces tenemos una infinidad de números primos $q_1\equiv a \pmod{p}$ y una infinidad de números primos $q_2\equiv b \pmod{p}$ del teorema de Dirichlet. Por lo tanto, tenemos una infinidad de soluciones.
No es difícil ver que se puede extender esta misma prueba a $p_{k_1}\cdots p_{k_n}$; es decir, los productos de la longitud de la $n$.
Si no existe un M tal que si $n = 2 p_{k_1}p_{k_2} \dots p_{k_n} + 1>M$, entonces n es primo. Eso si q es un compuesto extraño por encima de M, entonces q-1 no puede ser de la forma $2 p_{k_1}p_{k_2} \dots p_{k_n}$, pero q-1_=_2t para algunos t, así que entonces t debe ser 1 y $M<q=3$, pero hay más una impar compuesto por encima de $M=2$.
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