Grupo de clases de mapeo vs grupo de automorfismo externo del grupo fundamental para superficies no orientables

Question

El teorema de Dehn--Nielsen--Baer establece que para una superficie cerrada, conexa y orientable M el grupo de clases de mapeo extendido de M es isomorfo al grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de M . (Véase, por ejemplo, el teorema 8.1 de Una cartilla sobre los grupos de clases de mapeo disponible en línea aquí: http://www.math.uchicago.edu/~margalit/mcg/mcgv50.pdf .)

Me preguntaba si existe una conexión similar entre ambos para las superficies no orientables. Si no es así, ¿tienen alguna relación?

Disculpen si esta pregunta es trivial: soy un completo principiante en el tema de los grupos de clases de mapeo; apenas aprendí la definición la semana pasada. Lo que me interesa son los grupos de superficie de superficies no orientables y pensé que podría extraer algo de información sobre ellos utilizando lo que se sabe sobre los MCG.

Probablemente me he equivocado en las etiquetas: por favor, siéntase libre de volver a etiquetar adecuadamente.

Answer 1

Una parte del teorema se cumple con mucha más generalidad. Sea $M$ sea un espacio Eilenberg-MacLane de tipo $K(\pi, 1)$ . Que $Out(\pi_1(M))$ es isomorfo a $\pi_0 HomotopyEquivalences(M)$ es un hecho estándar - presumiblemente el argumento de Farb y Margalit factores a través de este argumento? No he leído su libro, así que no sé la respuesta, pero sospecho que sí. En cualquier caso, aparece en los apuntes de Topología Algebraica de Hatcher.

Para terminar la prueba para las superficies hay que argumentar que para las superficies no orientables $\pi_0 Diff(M) \to \pi_0 HomotopyEquivalences(M)$ es un isomorfismo de grupos. Esto se divide en dos preguntas -- (1) ¿es toda homotopía-equivalencia homotópica a un difeomorfismo, y (2) pueden los difeomorfismos no triviales ser homotópicos a la identidad?

Mirando el artículo de Margalit-Farb parece que responden a (2) elevando el difeomorfismo a un mapa de la cubierta universal, en el caso de que sea un plano hiperbólico (los casos no hiperbólicos se consideran casos especiales), y luego se extienden a la compactación del disco. Este es un tipo de argumento bastante estándar.

Para (1) utilizan lo que llaman el teorema de Dehn-Nielsen-Baer, pero también dan pruebas alternativas, más adelante en el teorema 8.9. Una buena manera de pensar en esto es hacerlo de forma inductiva - homotopía la imagen (bajo la homotopía-equivalencia) de una curva simple cerrada a una incrustación. Entonces se puede cortar el dominio y el rango a lo largo de esas curvas, y reducir el problema a uno para una superficie de género inferior, donde la homotopía-equivalencia es ya un difeomorfismo en el límite. Finalmente se llega a una homotopía-equivalencia de discos que se restringe a un difeo en la frontera (para ello hay que cortar a lo largo de arcos) y entonces en ese punto se puede utilizar la homotopía de línea recta, ya que los discos son convexos.