Es una prueba directa de este posible

Question

Considere la siguiente declaración

$x_n \to x$ Si y solamente si cada subsequence de $x_n$ tiene un subsequence que converge a $x$.

$\implies$ es claro. Una prueba de la otra dirección se da aquí. Es una prueba por contrapositive.

¿Mi pregunta es: puede ser probada directamente? (Obviamente intentó pero no pudo hacerlo)

Answer 1

Como Asaf Karagila señaló en el comentario, la referencia de la prueba es más bien indirecta. También tenga en cuenta que estos tipos de prueba no están formalmente definidas, por lo que no es claro lo que se acepta como prueba directa, y lo que no.

El argumento central de la prueba es como sigue: una secuencia $S$ que no convergen a un punto de $x$ tiene una larga completo que pierde un barrio de $x$, por lo que ninguno de sus subsecuencias puede converger a $x$.

Voy a poner algo que se parece más a una prueba directa. Primero algunas definiciones. Vamos a decir que una secuencia $S$ es finalmente en un conjunto $U$ fib $U$ contiene un segmento final de la $S$. Y vamos a decir que $S$ es con frecuencia en $U$ fib contiene una larga que es, finalmente, en $U$.

Tenga en cuenta que para cada una de las $S$ $U$ exactamente uno de los siguientes casos se tiene:

• $S$ es el tiempo en $U$, por lo que es frecuente en $U$ pero no con frecuencia en $U^c$.
• $S$ es el tiempo en $U^c$, por lo que es frecuente en $U^c$, pero no en $U$.
• $S$ es con frecuencia tanto en $U$$U^c$.

También tenga en cuenta que $S \to x \iff$ $S$ es, finalmente, en cualquier barrio de $x$.

Ahora consulte los siguientes pasos:

1. Cada subsequence de $S$ contiene una larga convergentes a $x$.
2. Cada subsequence de $S$ contiene una larga que es, finalmente, en cualquier barrio de $x$.
3. Cada subsequence de $S$ es con frecuencia en cualquier barrio de $x$.
4. $S$ no es frecuente en un complemento de cualquier barrio de $x$.
5. $S$ es el tiempo en cualquier barrio de $x$.
6. $S$ converge a $x$.

Es esta una prueba directa para usted?

Answer 2

No está claro si te refieres a una métrica o un espacio topológico. Voy a suponer que (desde el enlace) que significa métrica.
He probado esto antes en mi curso de análisis creo, pero no directamente.
Supongamos que cada convergente larga se puede construir de esta manera pertenecen al conjunto de $A$. Tomar la unión de ${x \in x_{n_{k}} \in A}$ para obtener el conjunto de $B$ de todos los elementos que pertenecen a una larga de $x_n$ que converge a $x$. Deje $X$ ser el conjunto de todos los elementos en $x_n$. Claramente, $X \setminus B$ es finito, como si suponemos que no podemos encontrar otra larga de $x_n$ con elementos en $X \setminus B$ que tiene una larga que converge a $x$. Esta larga pertenece a $A$, por lo que sus elementos pertenecen a $B$, por lo que sus elementos no pertenecen a $X \setminus B$, contradicción. Ahora es suficiente para mostrar que el subsequence de $x_n$ que contiene todos los elementos en $B$ converge a $x$ (ya que hay finitely más elementos de $x_n$ no en esta larga). Llamarlo $x_{n_{k}}$. Es satisifies todas las condiciones que $x_n$ satisfecho, por lo que podemos repetir este proceso, para obtener el $x_{n_{k2}}$, etc.
Esta es la sutil parte. Si, la repetición de este proceso, nunca conseguimos una larga de $x_n$, decir $x_{n_{kr}}$, $x_{n_{kr}} = x_{n_{k(r-1)}}$ (secuencias) entonces, ad infinitum, obtenemos un conjunto infinito de puntos en $X$ que deben ser miembros de $X \setminus B$. Contradicción. Para este $r$, $x_{n_{kr}}$ es una secuencia con las siguientes propiedades: todo lo $x_n$ tenían, y el hecho de que las subsecuencias de las subsecuencias que convergen a $x$ cubierta $x_{n_{kr}}$ (interpretado de forma intuitiva, como con los conjuntos presentados antes), $x_{n_{kr}}$. Así podemos encontrar un número finito de subcover (ok, estoy suponiendo demasiado compacto). Por lo tanto, $ \forall \epsilon > 0 \exists N_1,...,N_k$ después de que estos subsecuencias convergentes a $x$ están dentro de $\epsilon$ $x$ (notación llegue de la mano aquí, así que estar prolijo, usted sabe a qué me refiero). A continuación, para $n \geq max(N_1,...,N_k)$, el n-ésimo elemento de a partir de a $x_{n_{kr}}$ está dentro de$\epsilon$$x$. Como hay un número finito de elemens ot $x_n$ no $x_{n_{kr}}$, lo mismo es cierto para $x_n$, es decir, converge a $x$.

Nota: estoy fuera de tiempo, así que si alguien puede ayudar con la notación y la explicación estaría enormemente agradecido :).

Answer 3

Una prueba por contradicción es algo de la forma:

Suponga $A$, y asumir que la declaración de $B$ es falso, entonces (...), y se deduce que $A$ es falso, lo cual es imposible.

Esto se puede escribir simbólicamente como:

$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow(\neg B\Rightarrow\neg A)$

y, en general, es cierto que cualquier secuencia finita de instrucciones y consecuencias: $$A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow\ldots\Rightarrow A_n$$ es equivalente a: $$\neg A_n\Rightarrow\ldots\Rightarrow\neg A_2\Rightarrow\neg A_1$$ Ahora, cada prueba puede ser escrito como una secuencia finita de implicaciones, y por lo tanto la de arriba muestra que cada prueba por contradicción es equivalente a una prueba directa. es suficiente para identificar las implicaciones y negar con ellos para obtener la inversa de implicaciones.

(Nota: no estoy diciendo que no siempre es fácil...)