Significa valor en un convexo o un subespacio

Question

Que $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que $\forall x\in \mathbb{R}^n$, $f(x)\in C$ donde $C$ es un conjunto convexo de $\mathbb{R}^m$ (respectivamente $f(x)\in F$ donde $F$ es un subespacio lineal de $\mathbb{R}^m$) y $f$ $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$. Luego parece bastante natural que todos $K$ compacto conjunto convexo de $\mathbb{R}^n$, $$\frac{1}{\text{mes}(K)}\int_K f(x)\text{d} x \in C\text{ (resp. } \in F).$ $

Pero ¿es verdad? Y si es así, ¿cómo probarlo?

Answer 1

Deje que nos indican

$$\mu_K(g) := \frac{1}{\operatorname{mes}(K)}\int_K g(x)\,dx$$

para todo compacto $K$ con medida positiva y localmente integrable $g$.

Para cualquier funcional lineal $\lambda \colon \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$, tenemos

$$\lambda\left(\mu_K(f)\right) = \mu_K(\lambda\circ f),$$

así que si $\lambda(y) \leqslant 1$ todos los $y\in C$,$\lambda(\mu_K(f))\leqslant 1$.

Por el de Hahn-Banach teorema(s), tenemos

$$\bigcap_{C\subset \lambda^{-1}\bigl((-\infty,1]\bigr)} \lambda^{-1}\bigl((-\infty,1]\bigr) = \overline{C},$$

por eso sabemos que $\mu_K(f) \in \overline{C}$ todos los $K$. Si $C$ es cerrado, entonces eso quiere decir $\mu_K(f) \in C$. El caso de una lineal (o afín) el subespacio es un caso especial de esto. Si $C$ está abierta, $\lambda(y) \leqslant 1$ todos los $y\in C$ implica $\lambda(y) < 1$ todos los $y\in C$, ya que para $\lambda\neq 0$, la imagen de $\lambda(C)$ está abierto, y que a su vez implica la $\mu_K(\lambda\circ f) < 1$, de donde, de hecho,$\mu_K(f) \in C$.

Si $C$ no es ni abierto ni cerrado, lo anterior permite concluir que el $\mu_K(f)\in C$ si para cada límite de punto de $p \in \overline{C}\setminus C$ podemos encontrar un funcional lineal $\lambda_p$ $\lambda_p(p) = 1 > \lambda_p(y)$ todos los $y \in C$, que es el caso, por ejemplo si $C$ no tiene segmentos de línea en su límite. Para la totalidad caso general, aunque estoy bastante convencido de que sí, aún no veo cómo demostrarlo.