Preguntas base para $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ $\mathbb{Q}$

Question

Deje $\omega = e^{2 \pi i /3}$$\alpha = \sqrt[3]{2}$. Estoy viendo que afirmaba que $\mathcal{B} = \{\alpha, \alpha^2, \omega \alpha, \omega \alpha^2, \omega^2 \alpha, \omega^2 \alpha^2\}$ constituye una base para el espacio vectorial $\mathbb{Q}[\alpha, \omega]$$\mathbb{Q}$.

Pero el espacio vectorial $\mathbb{Q}[\alpha, \omega]$ $\mathbb{Q}$ deben tener todos los elementos de a $\mathbb{Q}$ como miembros, y no me queda claro cómo se podría expresar algunas racional $q$ $\mathbb{Q}$ combinación lineal de los elementos de $\mathcal{B}$. Esto es debido a que todos los miembros de $\mathcal{B}$ son estrictamente irracional o estrictamente complejo, de modo que cualquier combinación lineal de ellos será el resultado de nuevo en un sentido estrictamente irracional o estrictamente número complejo (y por lo tanto no es un miembro de $\mathbb{Q}$).

Me estoy perdiendo algo, o es$\mathcal{B}$, de hecho, no son una base para $\mathbb{Q}[\omega, \alpha]$?

EDIT: me miswrote la supuesta base $\mathcal{B}$. Sé que la adición de $1$ lo haría una verdadera base. Pero como ahora por escrito, el supuesto de base es $\mathcal{B} = \{\alpha, \alpha^2, \omega \alpha, \omega \alpha^2, \omega^2 \alpha, \omega^2 \alpha^2\}$.

Answer 1

Si $r$ es algebraico sobre $F$, con grado (mínimo polinomio) $n$, luego $$ \{1,r,r^2,\dots,r^{n-1}\} $$ es una base para$F[r]$$F$. La dimensión teorema dice que, si usted tiene una torre de $F\subseteq K\subseteq L$ de campo finito de extensión, $\{r_1,r_2,\dots,r_m\}$ $\{s_1,s_2,\dots,s_n\}$ son bases de $K$ $F$ $L$ $K$ respectivamente, entonces $$ \{r_is_j:1\le i\le m, 1\le j\le n\} $$ es una base de $L$$F$. Desde $\omega$ mínimo polinomio $X^2+X+1$, que es irreducible sobre $\mathbb{Q}[\alpha]$, no tener raíces reales, usted tiene que $$ \{1\cdot1,\alpha\cdot1,\alpha^2\cdot1,1\cdot\omega\alpha\omega\alpha^2\omega\} $$ es una base de $\mathbb{Q}[\alpha,\omega]$$\mathbb{Q}$.

Por supuesto que hay otras opciones, pero la base debe tener seis elementos. Desde $\{\omega,\omega^2\}$ es una base para$\mathbb{Q}[\alpha,\omega]$$\mathbb{Q}[\alpha]$, una base es también $$ \{\omega\alpha\omega\alpha^2\omega\omega^2,\alpha\omega^2,\alpha^2\omega^2\}. $$

Answer 2

Es necesario agregar 1 a la base. En primer lugar, desde $[\mathbb{Q}(\alpha,\omega):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha,\omega):\mathbb{Q}(\alpha)][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$, entonces esta dimensión no puede ser 5 ya que cada uno de los factores es no trivial. Por lo tanto, tu intuición es correcta y tienes que agregar 1. La dimensión es realmente 6.

Editar Debido a la edición te voy a decir lo que ya dicen los comentarios arriba: el nuevo sistema no es linealmente independiente debido al hecho de que $\alpha+\alpha\omega+\alpha\omega^2=0$.