Probar la raíz cuadrada de un cuadrado es lo mismo que el valor absoluto

Question

Digamos que tengo una función definida como $f(x) = \sqrt {x^2}$ . El conocimiento común de las raíces cuadradas te dice que simplifiques para $f(x) = x$ (llamaremos a eso $g(x)$ ) que puede ser el mismo problema, pero no es la misma ecuación. Por ejemplo, digamos que pongo $-1$ en ellos:

$ \begin {align} f(x) &= \sqrt {x^2} \\ f(-1) &= \sqrt {(-1)^2} \\ f(-1) &= \sqrt {1} \\ f(-1) &= 1 \end {align}$

$ \begin {align} g(x) &= x \\ g(-1) &= -1 \end {align}$

Por lo tanto, concluimos que $f(x)$ y $g(x)$ no producen los mismos resultados aunque sean matemáticamente iguales. Esto también se muestra cuando intentamos graficar las funciones:

$y = \sqrt {x^2}$ :

$y = x$ :

$y = \mid x \mid $ :

A partir de esto, podemos ver que dado $f(x) = \sqrt {x^2}$ cuando se simplifica no es lo mismo que $f(x) = x$ . Entonces, ¿hay alguna manera de probar que $y = \sqrt {x^2}$ no es lo mismo que $y = x$ para los valores negativos, pero de hecho es lo mismo que $y = \mid x \mid $ ?

Answer 1

Es la definición de raíz cuadrada de un número. La raíz cuadrada se define en el sentido de que $s(x^2) = \sqrt{ x^2 } = |x|$ para todos los reales $x$ . Por tanto, el dominio son los números reales y el codominio son los números reales no negativos. La razón por la que se define de esta manera es para asegurarse de que $s$ es una función. Supongamos por un momento que $s(x^2) = x$ entonces: $$\sqrt{(-5)^2} = -5, \qquad \sqrt{5^2} = 5$$ Pero sabemos que $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = \sqrt{5^2}$ . Así, vemos que $s(25) = -5, 5$ . Y así $s$ no es una función. Para mantenerla como función, tenemos que "sacrificar" y decir que $s(x^2) \neq x$ . Más bien, $s(x^2) = |x|$ . Esto será coherente con la definición de una función.

Al ser una definición, no se puede demostrar. El problema es que muchos piensan que $\sqrt {x^2} = x$ porque estudiamos los números positivos antes de estudiar los números negativos, lo cual es comprensible, porque yo solía cometer ese error todo el tiempo.

Answer 2

Dado un número real no negativo $\alpha$ el número $\sqrt\alpha$ se define como el único número real no negativo $\beta$ tal que $\beta^2=\alpha$ . Desde $\sqrt{\alpha}\geq 0$ para todos $\alpha\geq 0$ entonces para cualquier real $\gamma$ se deduce que $$\sqrt{\gamma^2}=\begin{cases}\gamma & \gamma\geq 0\\-\gamma & \gamma<0,\end{cases}$$ es decir, $$\sqrt{\gamma^2}=|\gamma|.$$

Answer 3

Cuando $x < 0$ , $|x| = -x > 0$ . $-x \ne x$ (a menos que $x=0$ ) y $(-x)^2 = x^2$ . Hay dos "raíces cuadradas" de cualquier número positivo $y$ es decir, los números cuyo cuadrado es $y$ y el positivo se llama $\sqrt{y}$ . Así que $\sqrt{x^2} = -x = |x|$ cuando $x < 0$ y $\sqrt{x^2} = x = |x|$ cuando $x \ge 0$ .

Answer 4

Y =raíz x es una función cuya gráfica está sólo en el primer cuadrante y también es uno -uno por lo tanto es bastante claro que sólo existe un valor para una x en su dominio.hay implica raíz bajo x es modoulus x Ilustración nº 2 :- Considere la función y = a^x su gráfico todo el mundo sabe y es una función uno por lo tanto la raíz bajo 4 con ser sólo y sólo 2..... no +-2