Encontrar el límite $\lim_{n\to \infty} \left({\frac{n+1}{n-2}}\right)^\sqrt n$

Question

Tengo que encontrar: %#% $ #% pero, para ser honesto, no tengo una mínima idea cómo comenzar. ¿Hay una manera de evaluar a este exponente radical?

Answer 1

Sugerencia

Es una manera para resolver indeterminaciones $1^\infty$:

Si $\lim_n a_n=1$ y $\lim_n b_n=\infty$ y $$\lim_n a_n^{b_n}=e^{\lim_n (a_n-1)b_n}. esto puede aplicar a su caso.

Answer 2

Aquí es: $$\left({\frac{n+1}{n-2}}\right) ^ n \sqrt = \left[\left({1+\frac{3}{n-2}}\right)^{(n-2)} \right] ^ {\frac {\sqrt n} {n-2}} \to(e^3) ^ 0 = 1$$

de hecho $\left({1+\frac{3}{n-2}}\right)^{(n-2)} n \to e^3$ and $\frac{\sqrt}${n-2} \to 0.

Answer 3

Consejo 1: $\frac{n+1}{n-2} = 1 + \frac{3}{n-2}$

Consejo 2: $t = e^{\log t}$

Consejo 3: Expansión de la serie de Taylor alrededor de 1.

Answer 4

$$\lim_{n\to\infty}\left({\frac{n+1}{n-2}}\right)^\sqrt n=\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{3}{n-2}}\right)^{\frac{n-2}{3}\frac{3\sqrt n}{n-2}}=e^{0}=1$ $ porque$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{3}{n-2}}\right)^{\frac{n-2}{3}}=e $$\lim_{n\to\infty}\frac{3\sqrt n}{n-2}=0

Answer 5

Tenga en cuenta que tenemos

$$\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^{\sqrt n}=\left(\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{\left(1-\frac2n\right)^n}\right)^{n^{-1/2}}$$

En ESTA RESPUESTA y ESTE, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial, que $\left(1+\frac xn\right)^n$ es monótonamente creciente para $x>-n$. Por lo tanto, tenemos

$$2\le \left(1+\frac1n\right)^n<e \tag 1$$

para $n\ge 1$ $n\ge 4$

$$e^{-2}> \left(1-\frac2n\right)^n\ge \frac1{16} \tag 2$$

Poner a $(1)$ $(2)$ juntos, nos encontramos con

$$(2e^2)^{n^{-1/2}}\le \left(\frac{n+1}{n-2}\right)^{\sqrt n}\le (16e)^{n^{-1/2}}$$

con lo cual, aplicando el teorema del encaje de los rendimientos

$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^{\sqrt n}=1$$