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Encontrar la serie de encendido de f(x)=1x2+x+1

Quiero encontrar la serie de encendido de f(x)=1x2+x+1$$¿cómopuedoprobarelsiguiente?f(x)=\frac{2}{\sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{sin}\frac{2\pi(n+1)}{3} x^n \,\,\,\, |x|<1$$

En particular me gustaría saber cómo proceder en este caso. El polinomio x2+x+1 no tiene ninguna raíces así que aquí no puedo usar fracción parcial descomposición: ¿Qué método debo utilizar?

8voto

student forever Puntos 142

1x2+x+1=1x1x3=(1x)11x3whenx\ne 1.

4voto

Roger Hoover Puntos 56

El polinomio x2+x+1=Φ3(x) no tiene no tiene ninguna raíz real , pero se desvanece a x=e±2πi3.
En particular, en un ajuste ω=exp(2πi3) y ¯ω=ω2=exp(4πi3), 1x2+x+1=1(xω)(xω2)=iω2311ω2xiω311ωx$$dondeelladoderecho,amplióladiferenciaentredosseriegeométrica,esiguala \frac{i}{\sqrt{3}}\sum_{n\geq 0}\left(\omega^{2n+2}-\omega^{n+1}\right)x^n =\frac{2}{\sqrt{3}}\sum_{n\geq 0}\sin\left(\frac{2\pi(n+1)}{3}\right)x^n como quería. Que claramente simplifica, desde $$ \frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3} = \sum_{m\geq 0}\left(x^{3m}-x^{3m+1}\right),, y la serie de Taylor en el origen es única.

2voto

Felix Marin Puntos 32763

\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove armada]{{#1}}\,}
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Permite a \ds{r \equiv -\,{1 \over 2} + {\root{3} \over 2}\,\ic = \expo{2\pi\ic/3}.\quad r\ \mbox{and}\ \bar{r}\quad \mbox{are the roots of}\quad x^{2} + x + 1 = 0}.

\begin{align}
{1 \over x^{2} + x + 1} & =
{1 \over \pars{x - r}\pars{x - \bar{r}}} =
\pars{{1 \over x - r} - {1 \over x - \bar{r}}}{1 \over r - \bar{r}} =
\bracks{2\ic\Im\pars{1 \over x - r}}{1 \over 2\ic\Im\pars{r}}
\\[5mm] & =
-\,{2\root{3} \over 3}\,\Im\pars{\bar{r}\bracks{1 \over 1 - \bar{r}x}} =
-\,{2\root{3} \over 3}\,\Im\pars{\bar{r}\sum_{n = 0}^{\infty}
\bracks{\bar{r}x}^{n}} \\[5mm] & =
-\,{2\root{3} \over 3}\,\sum_{n = 0}^{\infty}
x^{n}\,\Im\pars{\bar{r}^{\, n + 1}} =
-\,{2\root{3} \over 3}\,\sum_{n = 0}^{\infty}
x^{n}\,\Im\pars{\exp\pars{-\,{2\bracks{n + 1}\pi \over 3}\,\ic}}
\\[5mm] & =\ \bbox[15px,#ffe,border:2px dashed navy]{\ds{%
{2\root{3} \over 3}\,\sum_{n = 0}^{\infty}
\sin\pars{2\bracks{n + 1}\pi \over 3}x^{n}}}\qquad\qquad\verts{x} < 1
\end{align}

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