¿Es la integral $\int e^{2 \pi i z^2} dz$ uniformemente acotada para cualquier intervalo de $\mathbb{R}$?

Question

Me estaba preguntando si existe una constante $C$ tal que $| \int_I e^{2 \pi i z^2} dz | \leq C $ para cualquier intervalo $I$ de $\mathbb{R}$. Aquí quiero que $C$ sea independiente de la elección del intervalo $I. Además, $I$ no es necesariamente un intervalo finito. ¡Agradecería cualquier pista! ¡Gracias!

Answer 1

Entonces debemos demostrar $$ \left|\int_0^x e^{2\pi i z^2}\,dz\right| < \frac{1}{2} $$ para todo $x$. Luego obtenemos ${} < 1$ para todos los intervalos.

Answer 2

Definimos $$f(x)=\int_0^x \cos(2\pi z^2) dz,$$ entonces $f(x)$ es continua y $f(0)=0$. Además \begin{align} \lim_{x\to \infty} f(x)&=\int_0^\infty \cos(2\pi z^2) dz =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \cos t^2 dt\\ &=\frac{1}{4}, \end{align} donde $$\int_0^\infty \cos t^2 dt=\int_0^\infty \sin t^2 dt=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$ son conocidas como las integrales de Fresnel.
Así que $f(x)$ es una función acotada, entonces existe un $M$ positivo tal que $|f(x)|\le M$ para todo $x\ge 0$. De manera similar, $|f(x)|\le M$ para todo $x<0$. Para cualquier $a, b$ tenemos que \begin{align} \left|\int_a^b \cos(2\pi z^2) dz\right|&=\left|\int_0^b \cos(2\pi z^2) dz-\int_0^a\cos(2\pi z^2) dz\right|\\ &=\left|\int_0^b \cos(2\pi z^2) dz\right|+\left|\int_0^a\cos(2\pi z^2) dz\right|\\ &\le 2M. \end{align> El mismo argumento aplica a $$g(x)=\int_0^x \sin(2\pi z^2) dz$$ y vemos que existe $M^\prime$ tal que $|g(x)|\le M^\prime$ para todo $x$. Entonces tenemos que $$\left|\int_a^b \sin(2\pi z^2) dz\right|\le 2M^\prime$$ para cualquier $a$ y $b$.
Ahora vemos que \begin{align} \left|\int_a^b e^{2\pi iz^2} dz \right|&=\left|\int_a^b \cos(2\pi z^2) dz+ i\int_a^b \sin(2\pi z^2) dz\right|\\ &\le\left|\int_a^b \cos(2\pi z^2) dz\right|+\left|\int_a^b \sin(2\pi z^2) dz\right|\\ &\le 2M+2M^\prime=C, \end{align> lo cual completa nuestros argumentos.

Answer 3

Dado que $\left|\sin(x)\right|\le\min\!\left(|x|,1\right)$, la integración por partes da como resultado $$ \begin{align} \left|\int_0^xe^{2\pi iz^2}\mathrm{d}z\right| &=\left|\int_0^x\frac1{4\pi iz}\,\mathrm{d}\!\left(e^{2\pi iz^2}-1\right)\right|\\ &=\left|\frac{e^{2\pi ix^2}-1}{4\pi ix}+\int_0^x\frac{e^{2\pi iz^2}-1}{4\pi iz^2}\,\mathrm{d}z\right|\\ &\le\underbrace{\left|\frac{\sin\left(\pi x^2\right)}{2\pi x}e^{\pi ix^2}\right|}_{\le\min\left(\frac{|x|}2,\frac1{2\pi|x|}\right)} +\int_0^x\underbrace{\left|\frac{\sin\left(\pi z^2\right)}{2\pi z^2}e^{\pi iz^2}\right|}_{\le\min\left(\frac12,\frac1{2\pi z^2}\right)}\mathrm{d}z\\ &\le\frac1{2\sqrt\pi}+\left(\frac1{2\sqrt\pi}+\frac1{2\sqrt\pi}\right)\\[3pt] &=\frac3{2\sqrt\pi} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left|\int_Ie^{2\pi iz^2}\mathrm{d}z\right|\le\frac3{\sqrt{\pi}} $$