mostrando que $\frac{\mathbb R}{\mathbb Q}\cong\mathbb R$, ambos en $\mathbb Q$

Question

En mi última pregunta Los siguientes grupos son los mismos., tres grupos fueron dados y quería comprobar que son isomorfos a cada uno de los otros. Derek sugerido algunos puntos y tengo mi respuesta acerca de uno de ellos por completo. Pero uno se había quedado. Estoy tratando de simplificar mi pregunta nuevamente sobre él.

No; yo tenía que demostrar que $\frac{\mathbb R}{\mathbb Q}\cong\mathbb R$ ya que la necesito. Un teorema me dice que $\frac{\mathbb R}{\mathbb Q}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ porque es abelian divisible torsiones y lo mismo es cierto para $\mathbb R$. Así que considero que $\mathcal{B}$ ser una base para el espacio vectorial $\mathbb R$$\mathbb Q$.

Ahora puedo tener $\mathcal{B}+\mathbb Q$ como una base para el espacio vectorial $\frac{\mathbb R}{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$ y concluyendo que el $\#\mathcal{B}=\#(\mathcal{B}+\mathbb Q) $? Yo quería usar lo que Derek señaló que hay por estos dos vectores del espacio de nuevo. Gracias.

Answer 1

Deje $\cal B$ ser una base de $\Bbb R$ $\Bbb Q$ (como un espacio vectorial, que es). La cardinalidad de a$\cal B$$\frak c$. Tenga en cuenta que $\Bbb{R/Q}$ es como la eliminación de una base de elemento, o una copia de $\mathbb Q$.

Por lo tanto, el núcleo del cociente mapa de $\Bbb{R\to R/Q}$ tiene dimensión $1$, por lo que la imagen tiene que tener dimensión $\mathfrak c-1=\frak c$. Por lo tanto, $\Bbb R$ $\Bbb{R/Q}$ son isomorfos como espacios vectoriales sobre $\Bbb Q$. Pero, ¿cuáles son espacios vectoriales isomorfos? Para empezar, esos son isomorfos grupos! Que es lo que quieres, para empezar.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ son ambos continuo de tamaño.

Así como espacios del vector sobre el $\mathbb{Q}$ deben tener bases de tamaño continuo.

Y si dos espacios del vector tiene bases del mismo tamaño entonces son isomorfos, así que hemos terminado.

Answer 3

Directa prueba: si $\,\{r_i\}_{i\in I}\,$ es una base para $\,\Bbb R_\Bbb Q\,$ y $\,\{r_i+\Bbb Q\}_{i\in I}\,$ es una base para $\,\left(\Bbb R/\Bbb Q\right)_\Bbb Q\,$, puesto que:

$$(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall r\in\Bbb R\,\,\exists\,J\subset I\,\,,\,|J|<\infty\,,\,a_j\in\Bbb Q\,\,,\,\,\,s.t.\;\; r=\sum_{j\in J}a_jr_j\Longrightarrow r+\Bbb Q=\sum_{j\in J}a_j\left(r_j+\Bbb Q\right)$$

$$(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{If}\;\;\exists\,J\subset I\,\,,\,|J|<\infty\,\,,\,s.t.\;\;\sum_{j\in J}a_j\left(r_j+\Bbb Q\right)=\overline 0=\Bbb Q\in\Bbb R/\Bbb Q\,\,,\,\text{then}$$

$$\,\,\sum_{j\in J}a_jr_j\in\Bbb Q\Longrightarrow a_j=0\,\,\forall j\in J$$