Impulso de la partícula en una caja

Question

Tome una caja de la unidad, las funciones propias de la energía se $\sin(n\pi x)$ (sin tener en cuenta la normalización constante) dentro de la caja y 0 fuera. He leído que no hay ningún impulso operador para una partícula en una caja, ya que $\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\sin(n\pi x)=\frac{\hbar}{i}n\pi\cos(n\pi x)$ y esto no es 0 en los puntos finales. No obstante, podemos escribir $\sin(n\pi x)=\frac{e^{in\pi x}-e^{-in\pi x}}{2i}$, lo que parece dar a entender que hay dos posibles valores de impulso: $n\pi$$-n\pi$, cada uno con 50% de probabilidad.. Es esto un error? Si usted mide uno de estos impulsos y la función de onda se derrumbó en uno de los autoestados entonces no resolver las condiciones de frontera. Así que, ¿qué valores de impulso podría obtener si usted mide la cantidad de movimiento de una partícula en una caja?

Edit: yo sé que usted no puede medir la cantidad de movimiento de una partícula exactamente, pero normalmente después de una medición de impulso, o un continuo observable, la función de onda colapsa a una continua superposición de impulso autoestados correspondiente a la precisión de su medición. Pero en este caso, dado que la función de onda parece ser sólo una superposición de dos impulso autoestados, la función de onda debe tener al colapso a uno de ellos exactamente, o al menos eso parece.

Answer 1

Hay dos cuestiones diferentes. Uno de ellos es el signo de la velocidad; la otra es si el impulso se propaga (no es debido a la antinatural condiciones de contorno).

Sobre el primer punto, la posición de la onda (sinusoidal) es una función real y cada real de la función de onda tiene la misma probabilidad para llevar impulso $+p$$-p$. De hecho, ambos son igualmente probables.

Pero incluso si usted escribe el seno como una diferencia de dos exponenciales complejas, aún así es cierto que estos exponenciales no son iguales a la función de onda por todas partes en el interior de la caja, de modo que todavía es cierto que el impulso es muy limitada a dos valores de $p$$-p$.

Para obtener las probabilidades de los diferentes momenta, usted necesita a la transformada de Fourier de la onda estacionaria – un par de olas de la sinusoidal. Uno tiene $$\int_0^1 dx\,\sin(n\pi x)\exp(ipx) = \frac{n\pi[-1 +e^{ip}(-1)^n]}{p^2-n^2\pi^2} $$ Cuadrado del valor absoluto para obtener la densidad de probabilidad de que el impulso es $p$. El impulso $p$ debe tener la natural prefactors $\hbar/L$ etc. y el general de la función de onda debe conseguir otro factor de normalización para la probabilidad general para la igualdad. Esto no cambia nada acerca de la forma de la distribución de probabilidad: casi todos los valores de $p$ tiene un valor distinto de cero la probabilidad.

Answer 2

Creo que esta es una gran pregunta. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0103153 en Este artículo se explica por qué no debemos hacer cumplir las condiciones de contorno que nosotros (la función de onda llega a 0, en los límites) y en su lugar se debe utilizar la condición de que la función de onda es igual en ambos puntos finales. La justificación es parte de matemático, pero en parte debido a que el estado es demasiado fuerte físicamente; la función de onda no es medible. Por otro lado, la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es medible. Sólo queremos asegurarnos de que si a=0 y b se acerca a 0, la probabilidad se aproxima a 0 de forma continua. Esto se puede lograr incluso si la función de onda es discontinuo.

Una vez que aplicamos el más débil condición, determinadas funciones que son exponenciales en el interior de la caja y cero fuera de los permitidos (con las mismas longitudes de onda como la energía autoestados) y estos son, de hecho, el impulso autovalores. Así es exactamente como usted dice, si la medida del momento, la partícula se colapsará en uno de esos estados.

Answer 3

Me gustaría explicar en @Lubos Motl la respuesta.

La suposición de que la función de onda debe ir a cero es modelada como una función seno. Esto es complicado, porque, como se indicó anteriormente, la función de onda utilizadas no vaya a 0 en todas partes fuera de la caja. Esta es una sutileza que nunca se discutió en los cursos, porque abre una caja de Pandora sobre la validez de esta aproximación es (que es un modelo adecuado para hacer cálculos, ver http://arxiv.org/abs/0704.1820). Uno de los posible, sin embargo, engorroso, solución, como se ve en la integral de Fourier en el post anterior, sería el de la función de onda en la forma de $$ \psi= \theta(x)\theta(1-x)\sin(n\pi x),$$ donde $\theta(x)$ es la función escalón unitario. De esta forma, se corta la función de onda de la existente más allá del límite.

Además, el impulso, en este caso, no es un "buen" número cuántico. Esto significa que debido a que no tiene un periódico, el infinito, el sistema, la función de onda no puede tomar cualquier valor de impulso. El $n\pi$ son armónicos que este modelo permite debido a los límites. Esto es sólo un modelo y pueden no representar los resultados exactos en los sistemas que se describen.