Esta respuesta se basan en el mismo método que las dos respuestas de los usuarios curiosos y Emilio Pisanty, posiblemente salpican algunos que a lo largo de la manera. En particular, vamos a prestar atención a los signos, los cuales juegan un papel importante (por ejemplo, si el nadador nade upsteam$^1$ o abajo?).
I) En esta respuesta tenemos en cuenta el tiempo invertido (pero equivalente) problema de minimizar el tiempo total $T$ se tarda en ir desde la orilla del río $(x_i,y_i)=(0,0)$ a una posición fija $(x_f,y_f)=(L,y_f)$ en el medio del río (en un sistema de coordenadas que es estacionaria wrt. la orilla). En otras palabras, utilizamos Euleriano (en contraposición a la de Lagrange) coordenadas. Deje que el perfil de velocidad del río es lineal
$$\tag{1}v(x)~:=~ \frac{x}{L}V.$$
La velocidad del nadador
$$\tag{2}\dot{x}~=~v_0 \cos\theta > 0,\qquad \dot{y}~=~ v_0 \sin\theta + v(x),$$
donde el ángulo de $\theta\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ es un parámetro de control. (Suponemos que bang-bang soluciones de $|\theta|=\frac{\pi}{2}$ no son relevantes.)
II) supongamos por la comodidad de ir a adimensional de imprimación de coordenadas
$$\tag{3} x ~=~ L x^{\prime}, \qquad y ~=~ L y^{\prime},\qquad t ~=~ \frac{L}{v_0} t^{\prime},\qquad V ~=~ v_0 V^{\prime}.$$
No vamos a escribir los números primos de forma explícita a partir de ahora. Esto tiene el efecto de aumentar los parámetros de
$$\tag{4} L~=~1~=~v_0.$$ (The dimensionful parameters $L$ and $v_0$ puede ser fácilmente recuperados en la final por el análisis dimensional.)
III) darse cuenta de la positiva $x$-velocidad (2), el próximo reajuste de parámetros el problema en términos de $x$ en lugar de $t$, es decir, $x$ va a jugar el papel de un 'reloj' para el nadador. Esto tiene el beneficio añadido de que el final de 'el tiempo' $x_f=L=1$ es fijo (por oposición libre), lo que hace que el control óptimo problema más simple. También podemos escoger un nuevo parámetro de control
$$\tag{5} s(x)~:=~\sin\theta(x)~ \in~ ]-1,1[.$$
IV) El tiempo total que se convierte en
$$\etiqueta{6} T~=~\int_0^T \!dt~=~ \int_0^1 \! \frac{dx}{\dot{x}}
~=~ \int_0^1 \! \frac{dx}{\sqrt{1-s^2}}. $$
El $y$coordenada es (con el ligero abuso de notación, donde la parte superior de integración límite de $x$ y la integración de la variable $x$ reciben el mismo nombre)
$$ \etiqueta{7} y(x)~=~\int_0^{y(x)} \!dy
~=~ \int_0^x \!dx \frac{dy}{dx}
~=~ \int_0^x \!dx \frac{\dot{y}}{\dot{x}}
~=~ \int_0^x \!dx \frac{s+v}{\sqrt{1-s^2}}. $$
El final de la $y$-coordinar de manera similar
$$ \tag{8} y_f~=~\int_0^1 \! dx\frac{s+v}{\sqrt{1-s^2}}. $$
V) La tarea es reducir al mínimo (6) teniendo en cuenta la restricción (8). La 'acción' se convierte en
$$\tag{9} S ~=~ T +\lambda\left(y_f-y(x\!=\!L)\right) ~=~\int_0^1 \!dx~ L, $$
con Lagrange
$$\etiqueta{10} L
~=~\frac{1}{\sqrt{1-s^2}} + \lambda \left[\frac{s+v}{\sqrt{1-s^2}} -y_f\right]
~=~ \frac{1+\lambda(s+v)}{\sqrt{1-s^2}}-\lambda y_f. $$
Aquí $\lambda$ $x$independiente del multiplicador de Lagrange. De Euler-Lagrange de la ecuación de lee
$$\etiqueta{11} 0 ~\aprox~\frac{\partial L}{\partial s}
~=~ \frac{s(1+\lambda v)+\lambda}{(1-s^2)^{\frac{3}{2}}}
\qquad \Leftrightarrow \qquad s~\aprox~ -1/w,$$
donde hemos definido
$$\tag{12} w(x)~:=~v(x)+\mu, \qquad \mu~:=~\frac{1}{\lambda}. $$
El $\approx$ símbolo en eq. (11) la igualdad modulo ecuación de movimiento.
VI) vemos el moe (11), que la estrategia óptima para la cosecante $\csc\theta(x)\approx-w(x)$ es un afín (y por lo tanto monótono) la función de $x$. E. g. no es la óptima para el primer baño de aguas arriba y luego abajo. Por otra parte, la natación directamente en el río $s=0$ nunca podrá ser una estrategia óptima (aparte del caso trivial $V=0=y_f$). Acerquémonos, pues, excluir $s=0$ en lo que sigue. Por lo tanto el control de la doble desigualdad (5) se divide en natación de aguas abajo o nadar$^1$,
$$\tag{13} 0~<~s~<~1 \quad \vee \quad -1~<~s~<~0, $$
o, equivalentemente,
$$\tag{14} w ~< ~ -1 \quad \vee \quad w~>~1, $$
o, equivalentemente,
$$\tag{15} \mu ~<~ -(V+1) \quad \vee \quad \mu ~>~1, $$
o, equivalentemente,
$$\tag{16} -\frac{1}{V+1} ~<~ \lambda~<~0\quad \vee \quad 0~<~\lambda ~<~1,$$
respectivamente. En particular, llegamos a la conclusión de que el parámetro de control $s$ y el multiplicador de Lagrange $\lambda$ tienen signos opuestos,
$$\tag{17} -{\rm sgn}(s)~=~{\rm sgn}(w)~=~{\rm sgn}(\mu)~=~{\rm sgn}(\lambda).$$
VII) El mínimo de tiempo total que se convierte en
$$ T ~\stackrel{(6)+(11)}{\aprox}~
\int_{x=0}^{x=1} \!\frac{ps}{V} \frac{|c|}{\sqrt{w^2-1}}
~=~ \frac{1}{V} \left[{\rm sgn}(w) \sqrt{w^2-1}\right]_{x=0}^{x=1}$$
$$\tag{18}~=~ \frac{{\rm sgn}(\mu)}{V} \left(\sqrt{(V+\mu)^2-1}-\sqrt{\mu^2-1}\right) . $$
El óptimo $y$-coordinar es
$$ y(x)~\stackrel{(8)+(11)}{\aprox}~
\int_{x=0}^{x=x} \! \frac{ps}{V}\frac{v|w|-{\rm sgn}(w)}{\sqrt{w^2-1}}
~=~ \int_{x=0}^{x=x} \! \frac{ps}{V}{\rm sgn}(w)\frac{(w-\mu)w-1}{\sqrt{w^2-1}} $$
$$ ~=~ \int_{x=0}^{x=x} \! \frac{ps}{V}{\rm sgn}(w) \sqrt{w^2-1}
- \mu T $$
$$ ~=~\frac{1}{2} \left[|w| \sqrt{w^2-1}
-{\rm sgn}(w) {\rm arcosh}(w)\right]_{x=0}^{x=x}
- \mu T $$
$$ ~=~\frac{1}{2V} \left[{\rm sgn}(w)\left( (w-2\mu) \sqrt{w^2-1}- {\rm arcosh}(w)\right)\right]_{x=0}^{x=x} $$
$$ ~=~\frac{{\rm sgn}(\mu)}{2V} [ (v(x)-\mu) \sqrt{(v(x)+\mu)^2-1}+\mu\sqrt{\mu^2-1} $$
$$ \tag{19} -{\rm arcosh}(v(x)+\mu)+{\rm arcosh}(\mu)]. $$
El final óptimo $y$-coordinar de manera similar
$$ y_f ~=~\frac{{\rm sgn}(\mu)}{2V} [ (V-\mu) \sqrt{(V+\mu)^2-1}+\mu\sqrt{\mu^2-1} $$
$$ \tag{20} -{\rm arcosh}(V+\mu)+{\rm arcosh}(\mu)]. $$
Eq. (20) es una ecuación para la (recíproca) multiplicador de Lagrange $\mu$ en términos de$y_f$$V$. La solución para $\mu$ debe insertarse en la fórmula (18) por $T$ para obtener el codiciado para el resultado final. Sin embargo, en general no hay ninguna esperanza para resolver el trascendental eq. (20) en forma cerrada. Pero uno puede encontrar soluciones explícitas de ciertos límites. Por ejemplo, en la débil corriente límite de $V\ll 1$.
VIII) finalmente Vamos a estudiar la débil corriente límite de $V\ll 1$. En ese límite el mínimo tiempo total es
$$0~<~T~\simeq~ {\rm sgn}(\mu)\left[
\frac{\mu}{\sqrt{\mu^2-1}}
-\frac{1}{2(\mu^2-1)^{\frac{3}{2}}}V
+\frac{\mu}{2(\mu^2-1)^{\frac{5}{2}}}V^2
+{\cal O}(V^3)\right]$$
$$\tag{21} ~\stackrel{(23)}{\simeq}~ -\mu z +\frac{z^3}{2}V+{\cal O}(V^2) ,$$
y el final óptimo $y$-coordinar es
$$ y_f~\simeq~ {\rm sgn}(\mu)\left[
-\frac{1}{\sqrt{\mu^2-1}}
+\frac{\mu^3}{2(\mu^2-1)^{\frac{3}{2}}}V
+\frac{1-4\mu^2}{6(\mu^2-1)^{\frac{5}{2}}}V^2
+{\cal O}(V^3) \right] $$
$$\etiqueta{22} ~\stackrel{(23)}{\simeq}~ z +\frac{(-\mu z)^3}{2}V+{\cal O}(V^2)
~\stackrel{(21)}{\simeq}~ z +\frac{T^3}{2}V+{\cal O}(V^2) .$$
Aquí hemos introducido una conveniente expansión de parámetro
$$ \etiqueta{23} z~:=~ -\frac{{\rm sgn}(\mu)}{\sqrt{\mu^2-1}}, \qquad
{\rm sgn}(z)~=~-{\rm sgn}(\mu). $$
Eq. (22) puede ser invertida
$$ \tag{24} z ~\simeq~y_f-\frac{T^3}{2}V+{\cal O}(V^2) ,$$
$$ \tag{25} |\mu|~\simeq~ \sqrt{1+y_f^{-2}} -{\rm sgn}(\mu) \frac{1+y_f^{-2}}{2}V +{\cal O}(V^2) . $$
Y así llegamos a un débil límite de la fórmula para el tiempo mínimo
$$ \tag{26} T~\simeq~ \sqrt{y_f^2+1} - {\rm sgn}(\mu)\frac{|y_f|^3}{2}V+{\cal O}(V^2). $$
El signo ${\rm sgn}(\mu)=-{\rm sgn}(z)$ debe ser determinado a partir de la eq. (24).
Como una comprobación rápida vemos que la eq. (26) reproduce de Pitágoras fórmula $(v_0T)^2\simeq y_f^2+L^2$ cuando no hay corriente $V=0$ a todos.
De nca. (22) o (24) podemos deducir que $z< y_f$. Por un lado, si $y_f<0$ está aguas arriba, a continuación,$z>0$$\mu<0$, lo que significa que el nadador debe no es de extrañar que nadar contra la corriente. Por otro lado, si $y_f>0$ es aguas abajo, para que el nadador para determinar si se debe nadar hacia arriba o aguas abajo$^1$, lo primero que debe determinar el signo de $z$ de eq. (24).
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$^1$ Aquí nos referimos a nadar contra la corriente en el sentido de dirección. El movimiento resultante puede ser aguas abajo debido a la corriente del río.
