Para que $L^p$$\pi=3.2$?

Question

Esta es una pregunta tonta que se me vino a la mente después de ver numberphile vídeo sobre Cómo Pi casi fue cambiado a 3.2. Para que $p\in(1,+\infty)$ es la relación entre el perímetro de la $L^p$ disco en $\Bbb R^2$ más de su diámetro igual a $3.2$?

EDIT 1 Según lo sugerido por @Maesumi el comentario, por lo que el valor de $p$ es el área sobre el radio al cuadrado igual a $3.2$?

EDIT 2 Según lo sugerido por @DanielFischer comentario, ¿cuál es el perímetro de la $L^p$ pelota en el $L^q$ métrica?

En una nota más seria (?), hay valores de $p$ otros de $1,2,\infty$ para que el perímetro de la $L^p$ bola en el plano que se conoce en términos de otra `conocido constantes matemáticas"?

Answer 1

La zona es conocida, $$\frac{4 \Gamma \left( 1 + \frac{1}{p} \right)^2}{\Gamma \left( 1 + \frac{2}{p} \right)}$$

El método es debido a Dirichlet (1839) , pero parecen ha bloqueado las páginas relevantes en dicho artículo. Bien, encontrado en otros lugares, página 389. Un poco difícil de leer; que es el tipo de cosa que sucede si usted escanear algo y el uso de la "desparasitar" opción, debido a que algunos aspectos de letras y símbolos que son de tamaño similar a las manchas. Mi entendimiento es que esto también está en Whittaker y Watson.

EEDDDDIITTT: yo prefiero las curvas relacionadas con $$\color{magenta}{ x^4 + x^2 y^2 + y^4 \leq 1},$$ como $${ x^4 + A x^2 y^2 + y^4 \leq 1}$$ with real $A.$ Mostly it is because these are real analytic. With $=2$ we have the circle. With $=0$ we have the $L^4$ ball. For $Un>0$ we have nonzero curvature at $(0,1),$ implicit differentiation twice gives $y"(0) = -A/2.$ By the time we reach $Un=14$ the curve is no longer convex. I think there is a way to rotate by $45^\circ$ and scale that will show the $$ corresponding to $A=0,$, que es la convexidad límite en la otra dirección.

EEddIItteeDDiiTT: sí, que trabajó, la versión revisada de la $A$ para la rotación es $$\frac{12-2A}{2+A}$$ por lo que el límite de caso para la gran positivo $A$ $A=6.$ Y, si tenemos en cuenta $$x^4 + 6 x^2 y^2 + y^4 \leq 8$$ at the point $(1,1)$ we do get $y" = 0.$

Answer 2

El uso de Jagy la fórmula y un solucionador numérico, $p \approx 2.10134909469$ hace el truco para dentro de la precisión de mi calculadora.

Por cierto, $p \approx 2.00208615381$ da $\pi = 22/7$. Y $p \approx 1.79147384986$ da $\pi = 3$, compatible con 1 Reyes 7:23...

Answer 3

Uso de matlab (para calcular los $4\int_0^1\sqrt[p]{1 - x^p}\,dx$), conseguí que el área de la $p$-ball es, para

$p = 2.1030$, área de $=3.1995$

y

$p = 2.1040$, área de $=3.2001$

Answer 4

Ya he publicado la respuesta aquí donde alguien quería saber para que $p$$\pi=42$. El uso de

$$\pi_p=\frac{2}{p}\int_0^1 [u^{1-p}+(1-u)^{1-p}]^{1/p}du$$

llegamos $p=2.60513$ $p=1.623$ donde $\pi_p=3.2$ y también sabemos que esos son los únicos dos respuestas.

Referencia: http://www.jstor.org/stable/2687579