Número de valores integrales de la p

Question

Que $p=144^{\sin ^2 x}+144^{\cos ^2x}$, entonces tenemos que encontrar el número del valor integral del p.

Utilizando el concepto de inequlitiy de AM, GM consiguió su valor mínimo como 24.

Pero cómo podríamos encontrar el valor máximo.

Answer 1

Deje $$ f (t) = 144 ^ t + 144 ^ {1-t}. $$ Entonces $$ f'(t) = \left(144^t-144^{1-t}\right)\ln 144. $$ Vemos que $f'(t)\le0$ cuando $t\le1/2$ y $f'(t)\ge0$ cuando $t\ge1/2$. Por lo tanto $f$ alcanza su máximo en el intervalo $t\in[0,1]$ en los puntos finales. Así, el máximo es $f(0)=f(1)=145$.

Por lo tanto, por las propiedades básicas de funciones continuas, la función $p=f(\sin^2x)$ toma $145-24+1=122$ enteros distintos como sus valores. Es decir, aquellos en el rango $[24,145]$.

Answer 2

(1) uso que $2\cos ^{2}(x) = 1+\cos 2x$ y $2\sin ^{2}(x) = 1-\cos 2x$.

(2) entonces tenemos $\ 12 ^{1-\cos 2x}+\ 12 ^{1+\cos 2x}$ = $\tfrac{12}{12^{\ cos 2x}}+\ 12\cdot{12^{\ cos 2x}}$

(3) que ${12^{\ cos 2x}}=t$ y $\ f(t)= \tfrac{12}{t}+\ 12\cdot{t}$, donde $1\leqslant t \leqslant12$

(4) primera derivada de $\ f\prime(t)=0$ nos da $t=\pm1$

(5) nuestro continuo función en $1\leqslant t \leqslant12$ y estrictamente creciente, así $min=f(1)=24$ y $max=f(12)=145.$