Suma de cuadrados de dimensiones de caracteres irreducibles.

Question

Para cualquiera que esté familiarizado con Artin del Álgebra libro, me acaba de trabajar a través de la prueba del siguiente teorema, que se puede ver aquí:

(5.9) Teorema Deje $G$ ser un grupo de orden $N$, vamos a $\rho_1,\rho_2,\dots$ representan las distintas clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de $G$ y deje $\chi_i$ ser el personaje de $\rho_i$.

• (a) Ortogonalidad de las relaciones: Los caracteres $\chi_i$ son ortonormales. En otras palabras $\langle\chi_i,\chi_j=0$ si $i\ne j$, e $\langle\chi_i,\chi_i=1$ por cada $i$.
• (b) Hay un número finito de clases de isomorfismo de representaciones irreducibles, el mismo número que el número de clases conjugacy en el grupo.
• (c) Deje $d_i$ ser la dimensión de la representación irreducible $\rho_i$, vamos a $r$ el número de representaciones irreducibles. A continuación, $d_i$ divide $N$ y $$N=d_1^2+\dots+d_r^2.$$

Este teorema se demostró en la Sección 9, con la excepción de la afirmación de que $d_i$ divide $N$, que no podemos demostrar.

El teorema fue incluida en la última sección, pero la prueba de la parte (c) fue desaparecido por completo. Se menciona que la divisibilidad de la propiedad no sería probado, pero la suma de los cuadrados de la fórmula para $N$ no está verificado en todos.

En las aplicaciones en la tarea de esta propiedad es ampliamente utilizado para rellenar los huecos en los caracteres de las tablas de caracteres de grupos finitos, por lo que me gustaría entender por qué es cierto.

Puede alguien sugerir una referencia o boceto de un argumento? Gracias en abundancia!

Answer 1

¿El capítulo tiene el siguiente teorema? Si es así, vamos a $g=h=1$.$$ \sum_{\chi_i}\chi_i(g)\overline{\chi_i(h)}= \begin{cases} |C_G(g)| & \text{if } g\sim h \\ 0 & \text{if } g \not\sim h \end{casos} $$

Si no, esto se llama la segunda relación de ortogonalidad. La prueba es en realidad bastante simple, y se sigue de mencionar que, dado que los personajes son funciones de clase, podemos elegir representantes de la clase conjugacy $g_k$ (para cada clase conjugacy $k$ en el conjunto de las clases conjugacy $\mathcal{K}$$G$) y escribir la definición del producto interior como $$\langle \chi_i,\chi_j \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{k\in\mathcal{K}}[G:C_G(g_k)]\chi_i(g_k)\overline{\chi_j(g_k)}.$$ Usted puede encontrar el resto del argumento en detalle aquí.