Orden teórico sacador de una pulgada
El centralizador tiene la propiedad de que $Y\subseteq C_G(X)\iff X\subseteq C_G(Y)$. De $X\subseteq C_G(X)$ obtener $\langle X\rangle\subseteq C_G(X)$, y de la propiedad que acabamos de mencionar consigue $X\subseteq C_G(\langle X \rangle)$. De ello se desprende que $\langle X\rangle\subseteq C_G(\langle X \rangle)$, y que asciende a $\langle X\rangle$ Abelian.
El fin de la teoría de judo chop
Creo que hay dos cosas que pueden ayudar:
el centralizador mapa de $C_G(-)$ es un fin de revertir el mapa de subconjuntos no vacíos de a $G$. Es decir, si $X\subseteq Y\subseteq G$,$C_G(Y)\subseteq C_G(X)$; y
el centralizador mapa de $C_G(-)$ es "amplia" en el sentido de que $C_G(C_G(X))\supseteq X$ para cualquier subconjunto no vacío $X$ de un grupo de $G$, incluso fuera del contexto de este problema.
Como usted sabe, la hipótesis de da $X\subseteq C_G(X)$, por definición de $\langle X\rangle$ y el hecho de que el centralizador es un subgrupo, usted tiene que $$\langle X \rangle\subseteq C_G(X)$$
La aplicación de la orden de inversión de propiedad, también tenemos $$C_G(C_G(X))\subseteq C_G(\langle X\rangle)$$
Por la primera propiedad que he mencionado,
$$X\subseteq C_G(C_G(X))\subseteq C_G(\langle X\rangle)$$
De nuevo, por definición de $\langle X\rangle$, podemos concluir que $$\langle X\rangle\subseteq C_G(\langle X\rangle)$$
Esto nos dice que cada elemento del grupo centraliza el grupo, y así el grupo abelian.
Grupo de teóricos de la Máquina punch
Si usted está más cómodo el pensamiento de $\langle X\rangle$ como las palabras compuestas de símbolos de $X$ y sus inversos, a continuación, también se puede observar que $\{x^{-1}\mid x\in X\}$ también centraliza $X$, y por lo tanto, todas estas palabras tienen que conmuta con cada uno de los otros. Esto probablemente provenía de inducción sobre la longitud de las palabras.
