Una solución única

Question

Encontrar la suma de todos los valores de k para que el sistema de $$y=|x+23|+|x−5|+|x−48|$$$$y = 2 x + k$ $ tiene exactamente una solución en los números reales. Si el sistema tiene una solución, uno del tres $x's$, debe ser 0. Entonces, hay 3 soluciones, cuando cada uno de lo módulo se convierte en 0. ¿Dónde estoy fallando?

Answer 1

Tal vez sería de gran ayuda para escribir la primera ecuación como $$ y= \begin{cases} -3x+30&\text{ for }x\leq-23\\ -x+76&\text{ for }x\in[-23,5]\\ x+66&\text{ for }x\in[5,48]\\ 3x-30&\text{ for }x\geq48\\ \end{casos} $$ A continuación, encontrará $x$-valores de las intersecciones con cada una de esas cuatro líneas: $$ \begin{align} 2x+k&=-3x+30&&\iff x=\frac{30-k}5\\ 2x+k&=-x+76&&\iff x=\frac{76-k}{3}\\ 2x+k&=x+66&&\iff x=66-k\\ 2x+k&=3x-30&&\iff x=30+k \end{align} $$ y, a continuación, escriba $k$-rangos para la válida intersecciones: $$ \begin{align} \frac{30-k}{5}&\leq-23&&\iff k\geq 30+5\cdot 23 =145\\ \frac{76-k}{3}&\in[-23,5]&&\iff k\in[76-3\cdot 5,76+3\cdot 23]=[61,145]\\ 66-k&\in[5,48]&&\iff k\in[18,61]\\ 30+k&\geq 48&&\iff k\geq 18 \end{align} $$ Así que cuando $k$ está en uno de los siguientes cuatro intervalos, $y=2x+k$ legal intersección con el segmento correspondiente de $y=|x+23|+|x-5|+|x-48|$: $$ \begin{align} -3x+30:&k\in[145,\infty)\\ -x+76:&k\in[61,145]\\ x+66:&k\in[18,61]\\ 3x-30:&k\in[18,\infty) \end{align} $$ y vemos que sólo por $k=18$ tenemos $y=2x+k$ de intersección $y=x+66$ $y=3x-30$ en el mismo punto, $x=66-18=30+18=48$.

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Aquí está un diagrama de la etapa:

Answer 2

El trabajo con la Cadena de límites iniciales, hemos $$ 0= \begin{cases} -5x+30-k&\text{ for }x\leq-23\\ -3x+76-k&\text{ for }x\in[-23,5]\\ -x+66-k&\text{ for }x\in[5,48]\\ x-30-k&\text{ for }x\geq48\\ \end{casos} $$ Ahora observe que la función es decreciente para $x<48$ y el aumento de $x>48$. Esto significa que la función $f(x)=y-2x-k$ tiene un mínimo global en $x=48$. Ya que la función es continua (es una suma de funciones de valor absoluto y de una función lineal, cada uno de continua), cuando $k=18$, $x=48$ es la única solución de $f(x)=0$; al $k>18$, la función tiene dos raíces; al $k<18$, la función no tiene ninguno. Por lo tanto el único momento en el que hay una única solución al $k=18$. La imagen de por qué esto es, pensar en la curva de $y=x^2-k$ y sus raíces.

Answer 3

$$y-2x$$ is a piecewise linear function and is convex. The slope is nowhere zero (slope values are $-5 #, -3,-1,1 $) so that it achieves an isolated minimum, which is the requested value of $k$, en el vértice más bajo.

$$\begin{align}-23&\to145\\5&\to61\\48&\to\color{green}{18}\end{align}$$