Cómo encontrar el$f(x)$ such$\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2}}{f(x)}=1$

Question

busque el valor$f(x)$ such

ps

Este problema es china (2009College estudiantes 'comption matemática competencia) Tengo que considerar a veces, y sabemos que no podemos encontrar esta suma$$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2}}{f(x)}=1$ $ Gracias alguien tiene buenos métodos

Answer 1

Por la integral de la prueba de comparación tenemos

$$ \int_0^\infty x^{t^2}\,dt \leq \sum_{n=0}^\infty x^{n^2} \leq 1 + \int_0^\infty x^{t^2}\,dt. $$

Ahora

$$ \begin{align} \int_0^\infty x^{t^2}\,dt &= \int_0^\infty \exp\left[-\left(t\sqrt{-\log x}\right)^2\right]\,dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{-\log x}} \int_0^\infty e^{-u^2}\,du \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{-\log x}}, \end{align} $$

así

$$ \lim_{x \to 1^-} 2 \sqrt{\frac{-\log x}{\pi}} \sum_{n=0}^\infty x^{n^2} = 1. $$

Para simplificar esto un poco podemos usar el hecho de que

$$ \lim_{x\to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1 $$

para obtener

$$ \lim_{x \to 1^-} 2 \sqrt{\frac{1-x}{\pi}} \sum_{n=0}^\infty x^{n^2} = 1. $$

Answer 2

Maple no calcula el límite $$ \ lim_ {x \ a 1 ^ -} \ sqrt {\ frac {- \ log x} {\ pi}} (\ vartheta_3 (0, x) 1) $$ pero muestra numericamente el valor$1.0000000000$ para ello.

adicional

Se solicitó "Código". ¿Es eso permitido en un grupo de matemáticas?