Estoy tratando de mostrar que $H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q})$ es abeliano libre, este es otro ejercicio de Hatcher.
No estoy seguro pero he pensado que puedo usar la secuencia exacta
$$ \cdots 0 \xrightarrow{f} H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) \xrightarrow{g} H_0(\mathbb{Q}) \xrightarrow{h} H_0(\mathbb{R}) \xrightarrow{i} \cdots$$
y luego
$$ 0 \xrightarrow{f} H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) \xrightarrow{g} H_0(\mathbb{Q}) \xrightarrow{h} \operatorname{ker} (i) \xrightarrow{i}0$$
Mi idea es utilizar que una secuencia exacta $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow$ se divide si $C$ es gratis. Así que pensé que porque $\operatorname{ker}(i)$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}$ Es gratis. Si esto es correcto, todo lo que necesito para terminar es $H_0(\mathbb{Q})$ . Creo que debería ser una suma directa infinita contable de $\mathbb{Z}$ pero no sé cómo expresarlo. ¿Qué tal $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ ?
Entonces tendría $H_0(\mathbb{Q}) = H_1(\mathbb{Q}, \mathbb{R}) \oplus \operatorname{ker}(i)$ y por lo tanto $H_1(\mathbb{Q}, \mathbb{R}) \cong H_0(\mathbb{Q}) / \operatorname{ker}(i) \cong H_0(\mathbb{Q})$ .
Ahora tengo que encontrar una base para eso.
Puede alguien decirme si mis cálculos son correctos y en caso afirmativo darme una pista sobre cómo encontrar una base para $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ ? ¡Muchas gracias por su ayuda!
Editar Acabo de descubrir que tenemos la siguiente secuencia exacta: $$0 \rightarrow H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) \xrightarrow{f} H_0(\mathbb{Q}) \xrightarrow{g} H_0(\mathbb{R}) \xrightarrow{h} 0$$
Utilizando el ejercicio anterior, 16 (a), sé que $H_0(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) = 0$ porque $\mathbb{Q}$ cumple con cada componente de la ruta de $\mathbb{R}$ . También tengo $H_0(\mathbb{R}) = \mathbb{Z}$ .
Edición 2
Bien, creo que lo tengo:
$$ H_0( \mathbb{Q} ) = \oplus_{q \in \mathbb{Q}} \mathbb{Z} $$
$$ g: \oplus_{q \in \mathbb{Q}} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$$
$$ \operatorname{im}{g} = \mathbb{Z} \implies \operatorname{ker}{g} = \oplus_{q \in \mathbb{Q} - \ast} \mathbb{Z}$$
Aquí $\mathbb{Q} - \ast$ deben ser los racionales menos un punto.
$$ H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) / 0 = H_1(\mathbb{R}, \mathbb{Q}) = \operatorname{im}{f} = \oplus_{q \in \mathbb{Q} - \ast} \mathbb{Z}$$
¿Puede decirme si esto es correcto?
¿En qué se basa esto?
Muchas gracias por su ayuda.
