¿% 0.5% #% equivale a 0.5?

Question

¿La siguiente integral es igual a$0.5$?

{\ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {\ izquierda (e ^ x-x 1 \ derecha) ^ 2 \ pi ^ 2} \, dx $$

 NIntegrate[1/((E^x - x + 1)^2 + Pi^2), {x, -Infinity, Infinity}, 
AccuracyGoal -> 20, WorkingPrecision -> 50]


0.50000000000000000000000000000026335031938506368843
 

Answer 1

Primer sub $x=\log{u}$ en la integral y conseguir que la integral es igual a

$$\int_0^{\infty} \frac{du}{u \left [(u+1-\log{u})^2 + \pi^2\right ]} $$

Ahora considere la siguiente integral de contorno en el plano complejo

$$\oint_C \frac{dz}{z (z+1-\log{z}+i \pi)} $$

donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno de radio exterior $R$ y un radio interior de $\epsilon$ sobre el eje real positivo. El contorno de la integral es igual a

$$\int_{\epsilon}^R \frac{dx}{x (x+1-\log{x}+i \pi )} + i R \int_0^{2 \pi} d\theta \, \frac{e^{i \theta}}{R e^{i \theta} (R e^{i \theta} + 1 - \log{\left ( R e^{i \theta}\right )+i \pi)}} \\ + \int_R^{\epsilon} \frac{dx}{x (x+1-\log{x}+i \pi )}-i \epsilon \int_{2 \pi}^0 d\phi \, \frac{e^{i \phi}}{\epsilon e^{i \phi} (\epsilon e^{i \phi} + 1 - \log{\left ( \epsilon e^{i \phi}\right )+i \pi)}} $$

En el límite de $R \to \infty$, la magnitud de la segunda integral se desvanece como $2 \pi/R$. Como $\epsilon \to 0$, la magnitud de la cuarta integral desvanece como $2 \pi/\log{\epsilon}$. Por lo tanto, en este límite, el contorno de la integral es igual a

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{x(x+1-\log{x}+i \pi)} - \int_0^{\infty} \frac{dx}{x(x+1-\log{x}-i \pi)} \\= -i 2 \pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{x \left[(x+1-\log{x})^2+\pi^2\right]}$$

Por el teorema de los residuos, el contorno de la integral es también igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos de el integrando dentro de $C$, es decir, fuera el origen y el eje real positivo. Ahora, el único polo dentro de $C$ $z=-1$ (esto puede ser verificado mediante el examen de la polar en forma de $z$).

El residuo en este caso es simple debido a que el polo es simple, uno puede fácilmente demostrar que el residuo de a $z=-1$$-1/2$. Por el teorema de los residuos

$$-i 2 \pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{x \left[(x+1-\log{x})^2+\pi^2\right]} = -i 2 \pi \frac{1}{2}$$

o

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} = \frac{1}{2}$$

Answer 2

Sólo en caso de que quiera ver cómo obtener esto numéricamente en matemática:

después de un cambio de variables, y=Exp[x] :

 NIntegrate[1/y/((y - Log[y] + 1)^2 + Pi^2), {y, 1, Infinity}, 
  WorkingPrecision -> 100] +
  NIntegrate[1/y/((y - Log[y] + 1)^2 + Pi^2), {y, 0, 1}, 
    WorkingPrecision -> 100]
 

0,50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000

nota matemática lanza errores en la integral de 0-Infinity, pero dividirlo en dos partes da un buen resultado.