Se toman 20 enteros distintos por pares, cada uno de ellos menor que 70, y su se toman las diferencias entre pares (magnitud de la diferencia). Demuestre que siempre existen 4 números iguales.
De alguna manera encontré el rango de las diferencias e intenté demostrar que obtenemos un mínimo de cuatro números iguales pero no fue tan fácil. Otra pregunta difícil en mi examen escolar que no pude resolver.
Marquemos estos números como $n_{1}, n_{2}, ... n_{19}, n_{20}$ pero para que $n_{1} \lt n_{2} \lt ... \lt n_{19} \lt n_{20}$ . Esto es entonces válido:
$$(n_{20} - n_{19}) + (n_{19} - n_{18}) + ... + (n_{3} - n_{2}) + (n_{2} - n_{1}) = (n_{20} - n_{1}) \lt69$$
Digamos que no hay 4 diferencias iguales entre $(n_{i+1} - n_{i})$ . Entonces el valor mínimo para su suma sería $3 \times 1 + 3 \times 2 + 3 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 5 + 3 \times 6 + 7 = 70$ y esto significaría $70 \lt 69$ .
Esto significa que al menos cuatro de $(n_{i+1} - n_{i})$ debe ser el mismo.
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Duplicado de math.stackexchange.com/questions/299091