Un ángulo$\theta$ puede ser trisected si y sólo si$4x^3-3x+\cos\theta$ es reducible sobre$\mathbb{Q}(\cos\theta)$

Question

Se me dio el problema anterior para hacer la tarea. Hay (lo que parece ser) una prueba pertinente en mi libro de texto sobre la imposibilidad de trisecting $\pi/3$. En esta prueba, la identidad

$$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta -3\cos\theta$$

es utilizado. Reordenando, obtenemos $ 0 = 4\cos^3 \theta-3\cos\theta-\cos 3\theta$. Sé que si la ecuación dada se $4x^3-3x-\cos\theta$, mi tarea problema sería relativamente fácil. En este punto, sin embargo, no estoy seguro de a dónde ir. Un empujón en la dirección correcta sería muy apreciada.

Edit: La pregunta no es realmente fuera de los libros de texto (de la Teoría de Galois por Stewart). Es en una hoja de cálculo de mi maestro a máquina, lo que me hace pensar que podría tratarse de un error tipográfico así. De hecho, el libro de texto pide a la pregunta análoga para $4x^3-3x-\cos\theta$.

Answer 1

Un ángulo de $\theta$ puede ser trisected si y sólo si $4x^3-3x-\cos \theta $ es reducible $\mathbb Q(\cos \theta)$. Se puede demostrar fácilmente de la siguiente manera.

Asumir $\phi=\frac{\theta}3$. $\phi$ puede ser construido a partir de $\theta$ fib $\cos \phi$ puede ser construido a partir de $\cos \theta$. Ahora uso $$\cos \theta = \cos 3\phi=4 \cos^3 \phi-3\cos \phi$$ Por lo tanto $\cos \phi$ es una raíz de $f(x)=4x^3-3x-\cos \theta$.Ahora si $f(x)$ es reducible$\mathbb Q(\cos \theta)$, $\cos \phi$ es una raíz del polinomio de grado $1$ o $2$$\mathbb Q(\cos \theta)$, lo $[\mathbb Q(\cos \theta,\cos \phi):\mathbb Q(\cos \theta)]=1 \ or\ 2$. Por lo tanto $\cos \phi$ es edificable de $\mathbb Q(\cos \theta)$.

Si $f(x)$ es irreducible sobre$\mathbb Q(\cos \theta)$, $[\mathbb Q(\cos \theta,\cos \phi):\mathbb Q(\cos \theta)]=3$ e lo $\cos \phi$ no puede ser tipologias de $\mathbb Q(\cos \theta)$.

EDIT: Como se ha señalado por Andre Nicolás, $\phi$ es edificable iff $-\phi $ es. También se $4x^3-3x-a$ es irreducible sobre un campo $F$ fib $4x^3-3x+a$ como se puede ver poniendo cambio de variable $t=-x$.